Prueba con isometría lineal

Question

Hola,

Para este problema, mi enfoque es obviamente deficiente, ya que no utilizo la pista. Pero no estoy seguro de cómo utilizar la pista o por qué es necesario hacer este problema.

Esto es lo que hice:

$$ \langle Ax, Ay \rangle = \langle x,y\rangle $$

$$ A\langle x,y\rangle = \langle x,y\rangle $$

$$ \|A\langle x,y\rangle\| = \| \langle x,y\rangle \|$$

Lo anterior sólo es válido si $\|A\| = 1$ , lo que es cierto con $A$ es una transformación ortogonal.

Así,

$$ \|Ax \| = \|x\| $$

Answer 1

La prueba se divide en dos partes, una para cada dirección. La primera es fácil.

Espectáculo: $(Ax,Ay)=(x,y) \Rightarrow ||Ax||=||x||$ : $$ ||Ax||^2=(Ax,Ax)=(x,x)=||x||^2 $$ La segunda parte, el $\Leftarrow$ dirección: $$ ||x+y||^2=||A(x+y)||^2=\langle A(x+y),A(x+y)\rangle=||Ax||^2+||Ay||^2+2\langle Ax,Ay\rangle $$ y $$ ||x-y||^2=||A(x-y)||^2=\langle A(x-y),A(x-y)\rangle=||Ax||^2+||Ay||^2-2\langle Ax,Ay\rangle $$ restando: $$ ||x+y||^2-||x-y||^2=4\langle Ax,Ay\rangle $$ Por último, utilizando la identidad dada: $$ \langle Ax,Ay\rangle=\frac{1}{4}(||x+y||^2-||x-y||^2)=\langle x,y\rangle $$

Observación: La idea básica es expresar el producto escalar $\langle Ax,Ay\rangle$ en términos de $||x+y||^2$ normas (más y menos) y luego utilizando la identidad dada.