¿Cuál es el enfoque correcto para la factorización de una desigualdad racional?

Question

He aquí un ejemplo:

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x + 1} -5 > 0$

Mi planteamiento sería factorizar, encontrar las zonas no definidas y los ceros, y luego elegir algunos puntos en los intervalos que quedan para ver qué encuentro. No estoy muy seguro de si es el camino correcto, y para encontrar los ceros simplemente lanzaría un signo de igualdad en lugar de la desigualdad y encontraría las raíces. ¿Es este el enfoque correcto, y hay alguna técnica para mejorarlo?

Answer 1

Yo tomaría el $5$ en la función racional.

$$\frac{x^2-3x+2-5(x+1)}{x+1}>0$$ $$\frac{x^2-8x-3}{x+1}>0$$

Resolviendo la cuadrática en la parte superior se obtiene

$x=4\pm\sqrt{19}$

Así que tenemos

$$\frac{(x-4-\sqrt{19})(x-4+\sqrt{19})}{x+1}>0$$

Ahora tenemos $3$ lugares donde puede cambiar de signo: $-1$ y $4\pm \sqrt{19}$ . Para valores positivos muy grandes esto será claramente positivo, y cambiará de signo (ya que cada factor cambia de signo individualmente) a medida que nos movemos de derecha a izquierda a lo largo de $\mathbb{R}$ . Esto implica que es positivo en $(4+\sqrt{19},\infty)\cup (-1,4-\sqrt{19})$ .

Answer 2

Este no es un enfoque general, pero en este ejemplo $x=-1$ es "especial", por lo que hay que dividir la consideración en $I_- = (-\infty,-1)$ y $I_+ = (-1, +\infty)$ .

En $I_+$ tenemos $x^2 - 3x + 2 - 5 (x + 1) = x^2-8x-3 > 0$ . Los factores son $4 \pm \sqrt{19}$ Por lo tanto, si $x \in I_+$ entonces $\frac{x^2 - 3x + 2}{x + 1} -5 > 0$ si $x > 4 + \sqrt{19}$ o $x < 4 - \sqrt{19}$ .

En $I_-$ tenemos $x^2 - 3x + 2 - 5 (x + 1) =x^2-8x-3 < 0$ . Del razonamiento anterior, tenemos que si $x \in I_-$ entonces $\frac{x^2 - 3x + 2}{x + 1} -5 \leq 0$ .

Por lo tanto, $\frac{x^2 - 3x + 2}{x + 1} -5 > 0$ si $ x \in (-1,4 - \sqrt{19}) \cup (4 + \sqrt{19}, +\infty)$ .

Answer 3

Su enfoque funcionará, pero el $-5$ hace algunos problemas. El factoring facilita la comparación con $0$ pero no tanto con otros números. Mi primer intento sería incorporar el $5$ en la fracción, obteniendo $$\frac {x^2-8x-3}{x+1} \gt 0$$ Desgraciadamente, el numerador no es fácil de factorizar, pero yo sólo utilizaría la fórmula cuadrática: $$\frac{(x-4-\sqrt{19})(x-4+\sqrt{19)}}{x+1}\gt 0$$ y las dos raíces y una asíntota son visibles.