integración simple por sustitución (cambio de región)

Question

$$ t=\frac{y}{\theta}$$

$$\int _{0}^{\theta} \frac{ny}{\theta}(1-\frac{y}{\theta})^{n-1}dy = \int_{0}^{1} n\theta t(1-t)^{n-1} dt $$

Q1. ¿Por qué la región cambia de (0,theta) a (0,1)?

Q2. Por qué $\frac{ny}{\theta}$ es $n\theta t$ ? no debería ser $nt$ ?

¡Considere que soy principiante para esta integral.Por favor explique con ejemplo específico. y señale uno por uno. gracias!

Answer 1

P1: Si $y\in[0,\theta]$ entonces $t=\frac y\theta\in[0,1]$ .

P2: Efectivamente, $\frac{ny}\theta=nt$ . El extra $\theta$ es de $\mathrm{d}y=\theta\,\mathrm{d}t$