Minimización de una función multivariable dada la restricción

Question

Quiero minimizar la siguiente función:

$$J(x, y, z) = x^a + y^b + z^c$$

Sé que puedo determinar fácilmente el valor mínimo de $J$ utilizando la derivada parcial. Pero también tengo la siguiente condición:

$$ x + y + z = D$$

¿Cómo puedo acercarme ahora?

Answer 1

¿Multiplicadores de Lagrange? Definir

$$H(x,y,z,\lambda):=x^a+y^b+z^c-\lambda(x+y+z-D)$$

Encontrar las condiciones para

$$H_x'=H_y'=H_z'=H_\lambda'=0\;\;\ldots$$

Answer 2

Este es un ejemplo fácil de utilizar el multiplicador de Lagrange. Si se reformula la restricción como $C(x,y,z) = x+y+z-D=0$ puede definir $L(x,y,z,\lambda) := J(x,y,z)-\lambda \cdot C(x,y,z)$

Si ahora tomas la condición $\nabla L=0$ como sea necesario para su mínimo que va a cumplir $$\frac{\partial L}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial y}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial z}=0 \\ $$ Que se requieren para su mínimo y $$ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=C(x,y,z)=0 \\ $$ como su restricción.