Si $0 < q < p < 1$ y $\lambda > 0$ , hay $\delta(\lambda)$ s. t. $\frac{t^q}{(t + \varepsilon)^{q + \beta}} \geq \lambda t^p$ para $0 < t < \delta$

Question

La siguiente es una afirmación de un artículo que estoy leyendo (Montenegro, M. - Existencia de soluciones a una ecuación elíptica singular - Revista de Matemáticas de Milán. 2011):

Si $0 < q < p < 1$ y $\lambda > 0$ existe $\delta(\lambda)$ tal que $\frac{t^q}{(t + \varepsilon)^{q + \beta}} \geq \lambda t^p$ para todos $0 \leq t \leq \delta$ , donde $0 < \varepsilon, \beta < 1$ .

Tengo cierta intuición sobre la toma de $\delta$ tan pequeño que el denominador de la fracción está dominado por $\varepsilon$ pero no puede formalizar una prueba adecuada.

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Gracias de antemano y saludos cordiales.

Answer 1

Dejemos que $ \ f: [0, \infty[ \, \to \mathbb{R} \ $ sea tal que $$f(t) = \lambda \, t^{p-q} (t + \varepsilon )^{q+ \beta} \ \ , $$ para todos $ \ t \geq 0 \ $ . Es evidente que $f$ es continua. Así que $f$ es continua en $ \ 0 \in \mathbb{R} \ $ . Entonces $ \ \lim_{t \to 0^+} f(t) = f(0) \ $ . Desde $ \ 1>0 \, $ debe existir $ \ \tilde{\delta} > 0 \ $ tal que, para todo $ \ t \in \mathbb{R} \, $ , $$0 < t < \tilde{\delta} \ \Longrightarrow \ |f(t) - f(0)|<1 \ \ . $$ Tome $ \ \delta = \tilde{\delta}/2 \ $ y observe que $f$ no es decreciente y que $ \ f(0)=0 \ $ para conseguir $$0 \leq t \leq \delta \ \Longrightarrow \ 0 \leq f(t) \leq 1 \ \ . $$

Answer 2

Desde $t\mapsto t^{p-q}(t+\epsilon)^{q+\beta}$ es estrictamente creciente, entonces la pregunta es equivalente a la existencia de $\delta=\delta(\lambda)$ tal que $$\frac{1}{\lambda}\geq \delta^{p-q}(\delta+\epsilon)^{q+\beta}.\qquad (1)$$

Tal $\delta$ es la solución de la desigualdad $$\frac{1}{\lambda}\geq \delta^{p-q}(\delta+\epsilon)^{q+\beta}>\delta^{p-q} \delta^{q+\beta}=\delta^{p+\beta}\qquad (2)$$ Por lo tanto, $$\delta<\frac{1}{\lambda^{\frac{1}{p+\beta}}}$$ .

Y como $\beta+p<2$ entonces $\delta^{p+\beta}\geq \delta^2$ proporcionado $\delta\leq 1$ . Es decir, tenemos

$$\delta<min\{1,\frac{1}{\lambda^{\frac{1}{2}}}\}$$