Permítanme mostrar mi trabajo antes de presentar el problema en sí.
Dejemos que $M=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x+y=5, x+z=cos^2y\}$ .
Podemos ver fácilmente que $M$ es un submanifold de $\mathbb{R}^3$ de dimensión $1$ .
También podemos ver que podemos construir un atlas global para $M$ , digamos que $\{(M,\varphi)\}$ , donde $\varphi:M\rightarrow\mathbb{R}$ viene dada por $(x,y,z) \mapsto y$ .
Si $P=(p_1,p_2,p_3) \in M$ entonces $T_PM=\langle (-1,1,1-2sin(p_2)cos(p_2)) \rangle$ . En particular, para $P=(5,0,-4) \in M$ , $T_{(5,0,-4)}M = \langle (-1,1,1) \rangle$ .
Consideremos el morfismo (mapa suave) $F:M \rightarrow S^1$ dado por $(x,y,z) \mapsto (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})$ .
Recuerda que $S^1=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=1\}$ por lo que el morfismo dado está bien definido.
Expresando $F$ en el atlas de $M$ obtenemos $$F(x,y,z)=F(\varphi^{-1}(y))=(\frac{5-y}{\sqrt{2y^2-10y+25}},\frac{y}{\sqrt{2y^2-10y+25}})$$
Podemos ver que $F(5,0,-4)=(1,0)$ .
Ahora elegimos un gráfico de coordenadas $\psi$ de $S^1$ en un barrio de $(1,0)$ . Por ejemplo, $\psi:U=\{(x,y) \in S^1 : x > 0\} \longrightarrow ]-1,1[$ dado por $(x,y) \mapsto y$ .
También tenemos que $\omega=-\frac{1}{x}dy$ es una $1$ -que es una orientación de $S^1$ en una vecindad del punto $(1,0)$ .
Dejemos que $P=(5,0,-4)$ y $v \in T_{(5,0,-4)}M$ .
Quiero calcular $(F^{*}\omega)_P(v)$ .
Voy a mostrar mi intento:
Ponemos $x:=\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}$ y $y:=\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}$ .
Así que $-\frac{1}{x}dy=\frac{v}{u^2+v^2}du-\frac{u}{u^2+v^2}dv$ (No presento los cálculos porque son algo aburridos).
Así que $F^*\omega = \frac{y}{x^2+y^2}dx -\frac{x}{x^2+y^2}dy$ y $(F^*\omega)_p=-\frac{1}{5}dy$ Así que $(F^*\omega)_p(v)=-\frac{1}{5}C$ , donde $v=(-C,C,C) \in T_{(5,0,-4)}M = \langle (-1,1,1) \rangle$ .
¿Esto es correcto?
Se agradecería alguna ayuda. Gracias de antemano.
