Estaba reflexionando sobre el PMI y hay algo que me preocupa sobre las pruebas que he visto de que el principio de buen orden (WOP) y el PMI se implican mutuamente. Me parece que se podría utilizar el PMI en un conjunto $S \subseteq \Bbb{Z}$ que tiene un elemento máximo $a$ . Sea $p:S\to\{T,F\}$ sea una función proposicional sobre S. El caso base puede ser demostrar $p(a)$ y el paso inductivo puede ser demostrar $p(k) \to p(k-1)$ . Mi intuición es que por el PMI, $p(k)=T \; \forall k\in S$ .
Mis cavilaciones no terminaron ahí. Empecé a preguntarme: ¿por qué tiene que haber un elemento máximo? ¿Por qué el conjunto tiene que contener números? ¿Y si hubiera alguna forma de asignar biyectivamente cada elemento en $S$ a $\Bbb N$ (en otras palabras, ¿qué pasa si $S$ eran contablemente infinitos) e hicimos la siguiente prueba:
Dejemos que $S$ sea un conjunto contablemente infinito. Sea $p:S \to \{T,F\}$ sea una función proposicional sobre S. Sea $f:\Bbb N \to S$ sea una biyección. El objetivo es demostrar $p(a) = T \; \forall a \in S$ .
Caso base: probar $p(f(1)) = T$ .
Paso inductivo: probar $p(f(n)) \to p(f(n+1))$ .
Por lo tanto, $p(a) = T \; \forall a \in S$ como se desee.
Esto me parece que se podría utilizar la inducción para demostrar las cosas sobre $\Bbb Q$ , $\Bbb Z$ o, en general, cualquier conjunto contable. Si esto es cierto, ¿por qué la PMI se enseña tan comúnmente en los cursos de teoría de números como limitada a ser útil sólo en el caso en que la WOP es verdadera?
