Si $x = 3^{1/3} + 3^{2/3} + 3$ , hallar el valor de $x^3 - 9x^2 + 18x - 12$

Question

Si $x = 3^{1/3} + 3^{2/3} + 3$ , hallar el valor de $$x^3 - 9x^2 + 18x - 12.$$

No se trata de un problema de deberes. Ni siquiera soy un estudiante. Estoy revisando un viejo libro de texto. Sé que es un problema sencillo. Pero no puedo resolverlo.

Answer 1

Poner $t=\sqrt[3]{3}$ , por lo que tenemos $t^3=3.$ Entonces $$ x=t+t^2+t^3=t(1+t+t^2)=t \frac{t^3-1}{t-1}=\frac{2t}{t-1}. $$ Ahora sustituye esto $x$ a ${x}^{3}-9\,{x}^{2}+18\,x-12$ : $$ {x}^{3}-9\,{x}^{2}+18\,x-12=8\,{\frac {{t}^{3}}{ \left( t-1 \right) ^{3}}}-36\,{\frac {{t}^{2}}{ \left( t-1 \right) ^{2}}}+36\,{\frac {t}{t-1}}-12=\ldots=-4\,{\frac {{t}^{3}-3}{ \left( t-1 \right) ^{3}}}=0. $$

Answer 2

Tiene sentido dejar que $y = x - 3 = 3^{1 \over 3} + 3^{2 \over 3}$ . Debes calcular $$(y + 3)^3 -9(y + 3)^2 + 18(y + 3) - 12$$ Esto se traduce en $$y^3 - 9y - 12$$ Tenga en cuenta que $y^3 = (3^{1 \over 3})^3(1 + 3^{1 \over 3})^3 = 3(1 + 3*3^{1 \over 3} + 3*3^{2 \over 3} + 3) = 3(4 + 3y) = 12 + 9y$ . Así, $y^3 - 9y - 12 = 0$ .

Answer 3

Sugerencia: trabaje directamente "sacando" los productos. Mientras lo haces, utiliza que dos términos con la misma base, elevados a una potencia, significan sumar los exponentes. Todo se reducirá entonces a números enteros, o enteros por $3^{1/3},$ o enteros por $3^{2/3}.$ Lo que quiero decir con "frustrar" es que, por ejemplo, $x^2=(3^{1/3}+3^{2/3}+3)\cdot (3^{1/3}+3^{2/3}+3)$ para lo cual hay que multiplicar cada uno de los tres términos de la primera por cada uno de los de la segunda. A continuación, simplificar los productos resultantes mediante la adición de exponentes como se indica.

Answer 4

Dejemos que $\,a = \sqrt[3]3.\, $ $\, (\!\overbrace{x\!-\!3}^{\Large a^2+a}\!)^2 = \overbrace{a^4}^{\Large 3a}\!+\overbrace{2a^3}^{\Large 6}+a^2\,$

Por lo tanto, $\ \color{#0a0}{x^2\!-6x\!+\!3\, =\, a^2\!+\!3a}.\ $ Por aritmética muy simple tenemos:

$\begin{align} f(x)\, & =\ (x-3)\,(\color{#0a0}{x^2\!-6x+3})\, -\, 3(x+1)\ \ {\rm\ via\ \ Division\ Algorithm}\\ & = (a^2\!+\!a)\,\color{#0a0}{(a^2\!+\!3a)}\, -\, 3(a^2+a+4)\\ &= \underbrace{a^4}_{\Large 3a}\!\!+\underbrace{4a^3}_{\Large\! 4\,\cdot\, 3}\!+3a^2\, -\, 3(a^2+a+4)\, =\, 0 \end{align}$