Adivinación aleatoria eficiente

Question

Dejemos que $(x,y)$ sea un punto aleatorio en el plano con alguna distribución continua desconocida. Tu oponente elige al azar una de las coordenadas y te lo dice. Deberás adivinar si esta coordenada es mayor que otra o no. ¿Cómo puedes hacer esto con una probabilidad estrictamente mayor que $\frac12$ ?

El caso de que la probabilidad sea exactamente $\frac12$ se puede realizar mediante la elección aleatoria: se dice que una coordenada dada es la mayor con probabilidad $\frac12$ . Sin embargo, no sé cómo hacer que la verdad de la respuesta sea de probabilidad estrictamente superior.

Answer 1

Tome cualquier variable aleatoria continua $Z$ cuya densidad es positiva en todas partes. Si el adversario le dice $t$ , adivinar "sí" (es decir, que éste es el mayor) si $t > Z$ y "no" si $t \le Z$ .

Answer 2

Primero considera la estrategia de decir "más grande" si y sólo el número presentado es positivo. Se garantiza que su predicción es correcta cuando $x$ y $y$ tienen signos opuestos (es decir, uno es positivo y el otro es cero o negativo). Cuando $x$ y $y$ tienen el mismo signo, su predicción es correcta con probabilidad $1/2$ . Por lo tanto, su probabilidad global de acertar es $1/2 + p(0)/2$ , donde $p(0)$ es la probabilidad de que $x$ y $y$ tienen signos opuestos. Esto es al menos $1/2$ ; pero no sabes que es estrictamente mayor que $1/2$ porque no sabes con certeza que $x$ y $y$ pueden tener signos opuestos. Por ejemplo, se puede garantizar que ambos sean positivos. La forma de solucionar esto es elegir el punto de corte al azar (que sea $Z$ (una variable aleatoria gaussiana, por ejemplo), en lugar de fijarla en cero. Entonces su probabilidad global de acertar es $$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}P[\min(x,y)\le Z< \max(x,y)].$$ Desde $Z$ tiene una probabilidad no nula de estar en cualquier intervalo $[\min (x,y),\max(x,y))$ el término de la derecha es estrictamente positivo.