¿Qué mapas de la homología zeroth proceden realmente de mapas continuos?

Question

Dejemos que $X, Y$ sean espacios topológicos. ¿Cuáles son los posibles mapas $H_0(X) H_0(Y)$ sobre la homología procedente de los mapas continuos $X Y$ ? Por ejemplo, ¿puede un mapa $X X$ en un espacio conexo inducen un automorfismo no identitario $H_0(X) H_0(X)$ ?

Mis pensamientos: Deja que $f\colon X Y$ sea continua. Para cada camino componente $A$ de $X$ y $B$ de $Y$ Seleccione un punto base $\star_A A$ y $\star_B B$ . Entonces $$\star_A A \overset {f\lvert_A} Y \star_B$$ induce un isomorfismo $H_0(\star_A) H_0(\star_B)$ y Supongo que lo que significa que $H_0(f\lvert_A)$ es un isomorfismo o el mapa nulo, dependiendo de si $f$ mapas $A$ en $B$ o no. ¿Es esto correcto?

¿Qué (más) puedo concluir sobre la naturaleza de $H_0(f)$ ? Si $X$ y $Y$ ambos tienen sólo un número finito de componentes, ¿se parece a una matriz cuyas únicas entradas son $0$ y $1$ ? Si $X = Y$ está conectado, ¿son posibles los automorfismos no identitarios en la homología?

Answer 1

Por la definición de homología singular, $H_0 (X)$ es el grupo abeliano generado por los puntos de $X$ , modulando la ecuación $x_0 = x_1$ para cada camino que conecta $x_0$ a $x_1$ . Como tal, $H_0 (X)$ es el gratis grupo abeliano generado por las componentes del camino de $X$ . Dado un mapa continuo $f : X \to Y$ no es difícil ver que el homomorfismo inducido $f_* : H_0 (X) \to H_0 (Y)$ debe enviar los generadores a los generadores. Así, la matriz correspondiente a $f_*$ es efectivamente una matriz cero-uno - de hecho, tiene la propiedad de que cada columna contiene exactamente una $1$ .

Supongamos ahora que $X$ está localmente conectada por un camino. Entonces, considerando los mapas continuos que son constantes en los componentes del camino, no es difícil ver que cada homomorfismo $H_0 (X) \to H_0 (Y)$ correspondiente a una matriz cero-uno con exactamente una $1$ en cada columna puede realizarse mediante un mapa continuo $X \to Y$ .

En particular, si $X$ es un camino conectado, entonces el único automorfismo de $H_0 (X)$ procedente de un mapa continuo es la identidad; en otras palabras, $- \mathrm{id} : H_0 (X) \to H_0 (X)$ no proviene de ningún mapa continuo $X \to X$ .

El punto real es que el functor $H_0 : \mathbf{Top} \to \mathbf{Ab}$ factores como $\pi_0 : \mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$ (el functor que envía cada espacio topológico a su conjunto de componentes del camino) seguido del funtor de grupo abeliano libre $\mathbf{Set} \to \mathbf{Ab}$ . Así que tu pregunta es simplemente preguntar qué homomorfismos de grupos abelianos libres son inducidos por un mapa entre bases.