¿Por qué es $T:=\inf\{t\geq0:B_t\leq at^p-b\}$ ¿un tiempo de parada?

Question

¿Cómo puedo demostrar que $T:=\inf\{t\geq0:B_t\leq at^p-b\}$ es un tiempo de parada con respecto a una filtración natural de $B$ , donde $B$ es un $BM$ , $p>1/2$ y $a,b>0$ ?

Puedo introducir un nuevo proceso aleatorio, $X_t:=e^{B_t-at^p}$ para lo cual $T=\inf\{t\geq 0:X_t\leq e^{-b}\}$ .

He empezado: $$\{T\leq t\}= \{\exists s\leq t:X_s\leq e^{-b}\}.$$ ¿Es esto entonces igual a $$\cup_{s\leq t}\{X_s\leq e^{-b}\} = \cup_{s\leq t\cap \mathbb{Q}}\{X_s\leq e^{-b}\}?$$

¿Es suficiente para mí decir ahora, como $X_s$ es medible en la filtración dada, que una unión contable es también medible y que nos da el tiempo de parada?

Answer 1

Podemos utilizar esta proposición.

Propuesta. Dejemos que $X=(X_t)_{t\geq0}$ sea un proceso adaptado con valores en un espacio métrico $(E, d)$ . Supongamos que las trayectorias muestrales de $X$ son continuos, y $F$ sea un subconjunto cerrado de $E$ . Entonces $$T_F=\inf\{t\geq0: X_t \in F\}$$ es un tiempo de parada.

Claramente $X_t$ tiene trayectorias de muestreo continuas.  Como $(-\infty, e^{-b}]$ está cerrado, podemos concluir que $T$ es un tiempo de parada.

Answer 2

Su argumento no es válido. El LHS de la identidad teórica de conjuntos que has escrito no tiene por qué estar contenido en el RHS. Por ejemplo $X_t \leq e^{-b}$ no implica que exista $s\leq t,s \in \mathbb Q$ tal que $X_t \leq e^{-b}$ . En cambio, considere $\{T>t\}$ . Se puede escribir como unión sobre $s \leq t, s \in \mathbb Q$ de $\{X_s>e^{-b}\}$ y esto demuestra que $\{T>t\} \in \sigma \{B_u:u \leq t\}$ .