Convergencia de $\sum \limits ^{\infty} _{k=1} \ln(1+\frac{1}{k^2})$

Question

He estado trabajando en mi tarea, que es discutir la convergencia de $\sum \limits ^{\infty} _{k=1} \ln(1+\frac{1}{k^2})$ pero no pude encontrar una solución. Nos dieron que se podía resolver encontrando una secuencia de mayor/menor. Hasta ahora sé que la propia secuencia converge a 0.

Answer 1

Esquema: tienes $$0 \leq \ln(1+x) \leq x$$ para todos $x\geq 0$ (demostrado, por ejemplo, por la concavidad de la función $f$ dado por $f(x) = \ln(1+x)$ ). ${}^{(\dagger)}$ A continuación, utilice los teoremas de comparación, observando que la serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ converge.

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${(\dagger)}$ Por concavidad, la función continuamente diferenciable $f$ se mantiene por debajo de cualquiera de sus tangentes . Pero la tangente en $0$ viene dada por $g(x) = f(0)+f^\prime(0)x = 0+1\cdot x = x$ .

Answer 2

La serie $$\sum \limits ^{\infty} _{k=0} \ln(1+\frac{1}{k^2})$$ converge por prueba de comparación con $$\sum _{k\ge 1}\frac{1}{k^2}$$

Answer 3

Utilizamos la comparación directa de las series con la serie p $\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}.$ Obsérvese que para todos los $k$ en el rango dado, tenemos que $\ln\left(1 + \frac{1}{k^{2}}\right) < \frac{1}{k^{2}}.$ Entonces tenemos que $$\sum_{k = 0}^{\infty}\ln\left(1 + \frac{1}{k^{2}}\right) < \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}.$$

Como la segunda serie de comparación converge, la secuencia dada también debe converger.

Answer 4

$$\ln\left(1+\frac{1}{k^2}\right)=\frac{1}{k^2}+o\left(\frac{1}{k^2}\right).$$ En otras palabras, $$\ln\left(1+\frac{1}{k^2}\right)\sim \frac{1}{k^2}.$$

Sigue la convergencia.

Answer 5

Sé que no estoy respondiendo realmente a la pregunta en sí, que otros ya han respondido adecuadamente. Sin embargo, he pensado que podría ser interesante saber que la suma $$ \sum_{k=1}^\infty \ln\left(1+\frac{1}{k^2}\right) = \ln\left(\frac{\sinh{\pi}}{\pi}\right) $$ que está relacionada con la relación $$ \sin(z\pi) = z\pi\cdot \prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{k^2}\right) $$ introduciendo $z=i$ haciendo $z^2=-1$ .