Encuentre el valor esperado de la expresión de la matriz: $\mathbb{E}[(x - a)^TB(x - a)]$

Question

La cuestión es encontrar $\mathbb{E}[(x - a)^TB(x - a)]$ siempre y cuando $x \sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$ .

He encontrado la solución en el MatrixCookbook que resulta ser $(\mu - a)^TB(\mu - a) + tr(B\Sigma)$ . Sin embargo, me interesa la derivación de ese resultado. Sin embargo, no consigo acercarme a la solución. Agradecería que me dieran pistas y consejos.
Gracias.

Answer 1

Pistas: (i) Escriba $(x-a)^TB(x-a)$ como una suma doble y luego tomar la expectativa de cada término en la suma, (ii) utilizar la información dada que $\Bbb E[x_j]=\mu_j$ y $\Bbb E[x_ix_j]=\Sigma_{i,j}+\mu_i\mu_j$ . (La simetría de la matriz de covarianza se utilizará eventualmente).

Answer 2

Básicamente la misma respuesta que ya escribió @JohnDawkins, pero en forma de matriz.

Supongo que aquí todo es real y $B$ es simétrica. Reescribe primero \begin{align} (x-a)^TB(x-a)&=(x-\mu+\mu-a)^TB(x-\mu+\mu-a)=\\ &=(x-\mu)^TB(x-\mu)+2(\mu-a)^TB(x-\mu)+(\mu-a)^TB(\mu-a). \end{align} Tomando el valor medio, el segundo término desaparece ya que $\mathbb{E}(x-\mu)=0$ . En el primer término utilizamos la propiedad de la traza $\text{tr}(AC)=\text{tr}(CA)$ $$ \mathbb{E}\underbrace{(x-\mu)^T}_{A}\underbrace{B(x-\mu)}_{C}=\mathbb{E}\,\text{tr}(B(x-\mu)(x-\mu)^T)=\text{tr}(B\cdot\underbrace{\mathbb{E}(x-\mu)(x-\mu^T)}_{\Sigma}) $$ y se obtiene el resultado.