El número esperado de gotas que toma es la suma de las probabilidades de que $n$ gotas no son suficientes para $n \ge 0$ . Para el $1$ -En la versión del problema con dimensiones, se puede determinar esta probabilidad por inclusión-exclusión.
Geométricamente, el conjunto de $n$ lugares de impacto corresponde a un punto en un simplex con $n+1$ vértices utilizando coordenadas baricéntricas, y la densidad es uniforme. Dos de los vértices son especiales porque corresponden al primer y al último segmento, que deben tener una longitud máxima de $r$ en lugar de $2r$ para todos los puntos a cubrir. (Se puede evitar esta complicación cubriendo un círculo en su lugar.) La probabilidad de que algo quede sin cubrir es el volumen normalizado de los puntos dentro de $R-2r$ de al menos un vértice regular (por la $L^1$ distancia), o dentro de $R-r$ de uno de los dos vértices especiales.
$$P(n~ \text{cover})= \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^2 (-1)^{i+j}{n-1 \choose i}{2\choose j} \max(0,(1-jr/R-2ir/R)^n)$$
por lo que el número esperado de gotas que se necesitan para cubrir un segmento de línea es
$$\sum_{n=0}^\infty \bigg(1-\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^2 (-1)^{i+j}{n-1 \choose i}{2\choose j} \max(0,(1-jr/R-2ir/R)^n)\bigg).$$
Para un valor determinado de $r/R$ un número fijo de términos son distintos de cero, por lo que esta serie se puede simplificar. Por ejemplo, si $r/R = 1/3$ entonces el valor esperado es
$$\sum_{n=0}^\infty \bigg(1 - (1^n - (n-1)(\frac13)^n - 2(\frac23)^n + (\frac13)^n)\bigg) =\frac{15}{4}.$$
