¿Cómo puedo demostrar $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ si $A+B=\{a+b\mid a\in A, b\in B\}$

Question

Si $A,B$ conjuntos no vacíos y con límites superiores y $A+B=\{a+b\mid a\in A, b\in B\}$ ¿Cómo puedo demostrar que $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ ?

Answer 1

Establecer $x=\sup A$ , $y=\sup B$ . Dado $a\in A, b\in B$ tenemos $a\le x, b\le y$ así que $a+b\le x+y$ por lo que es un límite superior. Ahora toma $\varepsilon > 0$ y encontrar $a,b$ tal que $a>x-\varepsilon/2, b>y-\varepsilon/2$ y tienes $a+b > x+y - \varepsilon$ . Eso es suficiente (ya que significa que cada posible "límite superior más pequeño" $x+y-\varepsilon$ no es realmente un límite superior).

Answer 2

Demostrar que $\sup(A+B)$ es menor o igual que $\sup(A)+\sup(B)$ mostrando que este último es un límite superior para $A+B$ . Entonces demuestre que $\sup(A)+\sup(B)$ es menor o igual que $\sup(A+B)$ demostrando que $\sup(A+B)$ es un límite superior para $A+\sup(B)$ y que $\sup(A+\sup(B)) = \sup(A)+\sup(B)$ .

Answer 3

(pregunta 2. http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:DohoRC3-bU8J:www.maths.usyd.edu.au/u/UG/IM/MATH2962/r/PDF/tut01s.pdf )

La idea es demostrar dos desigualdades: sup(A+B) ≥ supA+ supB y sup(A + B) ≤ supA + supB.

$\Large{Prove \; \sup A + \sup B \le \sup(A + B)}$ :

Por definición de A + B y sup(A + B), para todo a ∈ A y b ∈ B, $\color{seagreen}{a + b} - b \quad \color{seagreen}{\le \quad \sup (A + B)} - b$

Por lo tanto, si fijamos $b ∈ B$ entonces $\color{seagreen}{\sup (A + B)} - b$ es un límite superior para $\color{seagreen}{A + B} - B = A$ .

Y así, por definición de $\sup A$ para cada $b ∈ B$ , $\sup A ≤ \sup (A+ B) − b $ .
Reacomodar: $\color{magenta}{b} ≤ \sup(A +B) − \sup A$ para todos $b ∈ B$ .
Ergo, $\qquad \qquad \sup(A +B) − \sup A$ es un límite superior para cualquier $\color{magenta}{b}$ .

Así que de nuevo por la definición de un supremum: $\color{magenta}{\sup B} ≤ \sup(A + B) − \sup A \qquad \iff \sup A + \sup B ≤ \sup(A + B).$

$\Large{Prove \; \sup A + \sup B \ge \sup(A + B)}$ :

Ya que sup A es un límite superior para A, $a ≤ \sup A$ para todo a ∈ A.
De la misma manera, $b ≤ \sup B$ para todo b ∈ B. Por lo tanto $a + b ≤ \sup A + \sup B$ para todo x ∈ A e y ∈ B.
Ergo $\sup A + \sup B$ es un límite superior para A + B.
Por lo tanto, por definición de un supremum, $\sup A + \sup B \ge \sup(A + B)$ .

Answer 4

Otra prueba para $\sup(A + B) \ge \sup A + \sup B$ .

$\Large{\sup A + \sup B \; is \; finite.}$

Posit $e > 0.$ Entonces existe existe $a \in A$ y $b \in B$ tal que $x > \sup A − \frac{e}{2}$ y $y > \sup B − \frac{e}{2}$ . Entonces $a + b \in A + B$ . Ergo $\color{seagreen}{sup(A + B)} \ge a + b \color{seagreen}{> \sup A + \sup B - e}$ .
$\implies \color{seagreen }{ \sup(A + B) > \sup A + \sup B - e }$ .
Desde $e > 0$ es arbitraria, $\sup(A + B) \ge \sup A + \sup B$

$\Large{\sup A + \sup B \; is \; infinite.}$

Answer 5

$$\forall a\in A,b\in B, a\le \sup A~~ \text{and }~~b\le \sup B \implies a+b \le a\le \sup A +\sup B$$

de ahí $$\sup A +B\le \sup A +\sup B$$ Ahora sabemos que existen $a_n\in A$ y $b_n\in B$ tal que $$\sup A=\lim_{n\to\infty} a_n\qquad and \qquad\sup B =\lim_{n\to\infty}b_n$$

entonces $$\sup A+\sup B =\lim_{n\to\infty} a_n+\lim_{n\to\infty} b_n =\lim_{n\to\infty} a_n+b_n \le \sup A+B$$

de donde $$\sup A+\sup B = \sup A+B$$