Pruébalo, $5(a^3b+c^3a+b^3c)+ab^3+bc^3+ca^3≥3abc-a^4-b^4-c^4$

Question

Demostrar que, si $a+b+c=1$ y $a,b,c≥0$

$$5(a^3b+c^3a+b^3c)+ab^3+bc^3+ca^3≥3abc-a^4-b^4-c^4$$

PS. Pido disculpas por los errores en una versión antigua.

Answer 1

Bien. Creo que lo he resuelto.

$$(a+b)(b+c)(a-b-c)^2+(a+c)(b+c)(b-c-a)^2+(a+c)(a+b)(c-a-b)^2≥0 \Rightarrow a^4 + 5 a^3 b + a^3 c - 3 a^2 b c + a b^3 - 3 a b^2 c - 3 a b c^2 + 5 a c^3 + b^4 + 5 b^3 c + b c^3 + c^4≥0\Rightarrow a^4 + 5 a^3 b + a^3 c + a b^3 + 5 a c^3 + b^4 + 5 b^3 c + b c^3 + c^4-3abc(a+b+c)≥0\Rightarrow 5(a^3b+c^3a+b^3c)+ab^3+bc^3+ca^3≥3abc-a^4-b^4-c^4$$

Buena suerte.

Answer 2

El problema fue cambiado y voy a publicar la solución del nuevo problema.

Tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}(a^4+5a^3b+ab^3)\geq3abc(a+b+c),$$ que es cierto por AM-GM.

Sí, es cierto, $$\sum_{cyc}a^3b=\frac{1}{7}\sum_{cyc}(4a^3b+b^3c+2c^3a)\geq\sum_{cyc}\sqrt[7]{a^{4\cdot3+2\cdot1}b^{4+3}c^{1+2\cdot3}}=\sum_{cyc}a^2bc.$$ Es decir, nuestra desigualdad se deriva de la suma de las siguientes desigualdades. $$a^4+b^4+c^4+2(a^3b+b^3c+c^3a)+(a^3c+b^3a+c^3b)\geq0$$ y $$3(a^3b+b^3c+c^3a)\geq3abc(a+b+c).$$ ¡Hecho!