Demostrar que .

Question

Problema Probar que $n! > \sqrt{n^n}, n \geq 3$.

Actualmente tengo dos ideas en mente, una es usar la inducción en $n$, la segunda es encontrar $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n!}{\sqrt{n^n}}$. Sin embargo, ambos métodos no parecen acercarse a la respuesta. Me pregunto si hay otro método para probar este problema del que no sea consciente. Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

$(n!)^2 = (n \times 1) \times ((n-1)\times 2) \times \cdots \times (1 \times n) \gt n^n$

desde el $(n-1)\times 2 = 2n-2 \gt n$ iff $n \gt 2$.

Entonces coge la raíz cuadrada.

Answer 2

Puedes probar por inducción (a-la Gauss) que $n! = 1 \cdots n = (1 \cdot n)(2 \cdot (n-1))(3 \cdot (n-2))\cdots(n/2(n/2+1)) \geq n^{(n/2)}$ y eso termina la prueba.

Answer 3

$\log$ es estrictamente cóncava $\left(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\log(x)=-\frac{1}{x^2}<0\right)$, por lo que para $1\le k\le n$, tenemos $ $ \log(k)\ge\frac{(k-1)\log(n)+(n-k)\log(1)}{n-1}\tag{1} $ $ con igualdad solo cuando $k=1$ o $k=n$. Sumando $(1)$ produce $ $ \begin{align} \log(n!) &\ge\frac{n}{2}(\log(n)+\log(1))\\ &=\log(\sqrt{n^n})\tag{2} \end{align} $ $ Si $n\ge3$, entonces para al menos uno de los sumandos, la igualdad falla; por lo tanto, $ $ n!>\sqrt{n^n}\tag{3} $ $

Answer 4

Para mostrar que $(n!)^2>n^n$ para todos $n\geq 3$ por inducción, primero comprueba que $(3!)^2>3^3$. Luego, para obtener el paso inductivo, basta con mostrar que cuando $n\geq 3$, $(n+1)^2\geq\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}=(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$. Esto es cierto, y de hecho $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<3$ para todos $n$. Sería más que suficiente para utilizar $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<n$, que se demuestra en otro hilo.