Dejemos que $x,y,z$ sea una distribución uniforme independiente en $(0,\pi)$ . ¿Cuál es la probabilidad de que $z\leq \cos^2(x)\sin^2(y)$ ?

Question

Dejemos que $x,y,z$ sean independientes distribuidos uniformemente en $(0,\pi)$ . ¿Cuál es la la probabilidad de que $z\leq \cos^2(x)\sin^2(y)$ ?

Creo que aplicar la fórmula de la trigonometría puede ser útil. Sin embargo, no sé cómo abordar el problema.

¿Alguien puede dar una solución rápida?

Gracias.

Answer 1

Lo que hay que hacer aquí es integrar la función de densidad de probabilidad conjunta (que aquí es simplemente el producto de las densidades marginales debido a la independencia) sobre el evento $\{z\leq\cos^2{(x)}\sin^2{(y)}\}$ que te da: $$\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\int_{0}^{\cos^2{(x)}\sin^2{(y)}}\frac{1}{\pi^3}dzdydx=\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\cos^2{(x)}\sin^2{(y)}}{\pi^3}dydx$$ $$=\frac{1}{\pi^3}\int_0^{\pi}\cos^2{(x)}dx\int_0^{\pi}\sin^2{(y)}dy$$

Ahora observamos que esas integrales tienen el mismo valor (haz un dibujo) y así $$\int_0^{\pi}\cos^2{(x)}dx=\frac{1}{2}(\int_0^{\pi}\cos^2{(x)}dx+\int_0^{\pi}\sin^2{(x)}dx)$$ $$=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}(\cos^2{(x)}+\sin^2{(x)})dx=\frac{\pi}{2}$$ para dar una respuesta final de $\frac{1}{4\pi}$ .