Lo que hay que hacer aquí es integrar la función de densidad de probabilidad conjunta (que aquí es simplemente el producto de las densidades marginales debido a la independencia) sobre el evento $\{z\leq\cos^2{(x)}\sin^2{(y)}\}$ que te da: $$\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\int_{0}^{\cos^2{(x)}\sin^2{(y)}}\frac{1}{\pi^3}dzdydx=\int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\cos^2{(x)}\sin^2{(y)}}{\pi^3}dydx$$ $$=\frac{1}{\pi^3}\int_0^{\pi}\cos^2{(x)}dx\int_0^{\pi}\sin^2{(y)}dy$$
Ahora observamos que esas integrales tienen el mismo valor (haz un dibujo) y así $$\int_0^{\pi}\cos^2{(x)}dx=\frac{1}{2}(\int_0^{\pi}\cos^2{(x)}dx+\int_0^{\pi}\sin^2{(x)}dx)$$ $$=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}(\cos^2{(x)}+\sin^2{(x)})dx=\frac{\pi}{2}$$ para dar una respuesta final de $\frac{1}{4\pi}$ .