Topología sobre Reales generada por Predicados

Question

Cuál es la topología que tiene el número Real que está generado por los conjuntos de la forma $\{x\in \mathbb{R}:P(x)=T\}$ donde P() es un predicado del lenguaje de campos ordenados (que es un cálculo de predicados con las constantes $1,0$ las funciones unarias $-, $ y $()^{-1}$ definida sólo en elementos no nulos. Las operaciones binarias de suma y multiplicación y la relación $<$ ) Los conjuntos forman claramente una base ya que el cierre por conjunciones finitas de predicados asegura que los conjuntos de la forma mencionada anteriormente están cerrados por intersección finita. Cada número racional puede expresarse en este lenguaje, por lo que el conjunto de racionales tendría que ser discreto. (El predicado $x=q$ sólo se satisface con $q$ y así el singleton $\{q\}$ está abierto). Por el mismo razonamiento los números algebraicos tendrían que ser un conjunto discreto en esta topología. Por otro lado toda la línea real no podría ser discreta ya que eso implicaría un número incontable de Predicados lo cual no puede ser el caso ya que son numerables. Esta topología parecería ser más fina que la euclidiana ya que se pueden definir los conjuntos de bolas con radio racional y centrados en un racional con un predicado lo que significa que esta topología contiene una base de la euclidiana. ¿Qué otro tipo de conjuntos serían abiertos?

Edición: la topología también debe ser totalmente desconectada ya que los racionales son densos y los predicados de la forma $x<q$ donde $x$ es una variable y $q$ es un racional y la negación de tales predicados significa que cualquier par de reales distintos no puede estar en la misma parte conectada

Answer 1

La teoría de los campos reales cerrados admite la eliminación del cuantificador (sólo sobre el lenguaje de los anillos ordenados, sin la operación inversa multiplicativa). Se deduce que cualquier subconjunto definible (sin parámetros) de $\mathbb{R}$ es una combinación booleana finita de conjuntos de la forma $\{x:p(x)\geq 0\}$ donde $p$ es un polinomio con coeficientes enteros. Cualquier conjunto de este tipo es una unión finita de intervalos cuyos puntos extremos son números algebraicos. Dado que, como has observado, todo número algebraico es definible, se deduce que la topología que generan es justo la topología generada por los intervalos abiertos y los singletons cuyos elementos son algebraicos. En otras palabras, un conjunto abierto en esta topología no es más que la unión de un conjunto abierto en la topología habitual y un subconjunto de los números reales algebraicos.

Esta topología puede parecer patológica, pero en realidad puede estar incrustada en $\mathbb{R}^2$ . Sea $A$ sea el conjunto de los números algebraicos reales y enumere $A=\{a_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+}$ . Considere el conjunto $$X=(\mathbb{R}\setminus A)\times\{0\}\cup\{(a_n,1/n):n\in\mathbb{Z}_+\}\subset\mathbb{R}^2.$$ Entonces, identificando $X$ con $\mathbb{R}$ a través de la primera proyección, la topología en $X$ como un subespacio de $\mathbb{R}^2$ es la misma que su topología en $\mathbb{R}$ .