Parece que las funciones que son continuas siempre parecen ser diferenciable, a mí. No me puedo imaginar a uno que no lo es. Hay ejemplos de funciones que son continuas, sin embargo, no diferenciable?
La otra manera alrededor parece un poco más simple-una función derivable es, obviamente, siempre va a ser continua. Pero ¿hay alguna que no satisfacen este?
Es fácil encontrar una función que es continua pero no diferenciable en un punto, por ejemplo, f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en 0.
Además, hay funciones que son continuas pero diferenciable, tales como la función de Weierstrass.
Por otro lado, la continuidad de la siguiente manera a partir de la diferenciabilidad, por lo que no hay funciones diferenciables que no son también continuas. Si una función es diferenciable en a $x$, entonces el límite de $(f(x+h)-f(x))/h$ debe existir (y de ser finito) como $h$ tiende a 0, lo que significa que $f(x+h)$ debe tender a $f(x)$ $h$ tiende a 0, lo que significa que $f$ es continua en a $x$.
No quiero ser quisquilloso, pero creo que debe ser específica acerca de la norma/topología estamos utilizando cuando decimos que estas funciones son una denso subconjunto. Cuando trabajamos en [a,b], creo que el uso de la sup de la norma. Lo siento, toda la información acerca de la norma/topología, etc. se incluye en la enlace de arriba.
En realidad, en cierto sentido, casi todas las funciones continuas son diferenciable: http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function#Density_of_nowhere-differentiable_functions
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