Matrices de conmutación similares

Question

Me preguntaba si $D$ y $A$ son matrices similares, sobre $\mathbb{R,C}$ Es decir $D=S^{-1}AS$ y $DC=CD$ para algunos $C$ , debe $A$ viajar con $C$ ?

Por alguna razón, ésta se me escapa. Quiero decir que sí, y que es un hecho común, pero no consigo recordarlo. Si es así, ¿podría alguien dejar un ejemplo/explicación?

Answer 1

No veo por qué. Sin embargo, dejemos $C = S^{-1} F S,$ lo que podemos hacer definiendo $F = S C S^{-1}.$ Su $DC=CD$ se convierte en $$ S^{-1} A S S^{-1} F S = S^{-1} F S S^{-1} A S, $$ $$ S^{-1} A F S = S^{-1} F A S, $$ $$ A F = F A. $$

Su problema de hace unas once horas trata de una matriz diagonalizable donde la diagonal resultante tiene $n$ entradas distintas en la diagonal, matrices, $n$ por $n.$ Por favor, haz estos cálculos: $$ \left( \begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 0 & 7 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} p & q \\ r & s \end{array} \right) = ? $$

$$ \left( \begin{array}{rr} p & q \\ r & s \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 0 & 7 \end{array} \right) = ?? $$

Entonces: toda matriz conmuta con la matriz identidad. PERO ¿Qué tipo de matrices conmutan con una matriz diagonal que tiene todos los elementos diagonales? diferentes ?

Si el primer par no fue suficiente, haga $$ \left( \begin{array}{rrr} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} r & s & t \\ u & v & w \\ x & y & z \end{array} \right) = ? $$

$$ \left( \begin{array}{rrr} r & s & t \\ u & v & w \\ x & y & z \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{array} \right) = ?? $$