Dimensión de una cubierta abierta - FAC de Serre

Question

Estoy leyendo el libro de Serre Paquetes algebraicos coherentes (En adelante FAC ) y utiliza una terminología que no he visto. He buscado un poco por ahí pero no consigo una definición limpia y clara.

Pregunta: Para $\mathfrak{U}$ una cubierta abierta de un espacio topológico, ¿cuál es la definición de $\mathrm{dim}(\mathfrak{U})$ ?

La prueba en la que aparece la terminología parece proporcionar algunas pistas:

Pista / Contexto: Aquí está la proposición y la prueba donde se utiliza la noción.

Corolario. $H^{q}(\mathfrak{U},\mathscr{F}) = 0$ para $q > \mathrm{dim}(\mathfrak{U})$ .

Según la definición de $\mathrm{dim}(\mathfrak{U})$ tenemos $U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_q} = \emptyset$ para $q > \mathrm{dim}(\mathfrak{U})$ si los índices $i_0,\dots,i_q$ son distintos; por lo tanto $C^{'q}(\mathfrak{U},\mathscr{F})=0$ lo que demuestra que $$H^{q}(\mathfrak{U},\mathscr{F}) = H^{'q}(\mathfrak{U},\mathscr{F}) = 0.$$

Parece ser el mayor número de conjuntos superpuestos?

La selección anterior es de este La traducción al inglés se encuentra en la página 25.

Muchas de mis etiquetas están relacionadas con el contexto del documento del que procede mi pregunta, no con la pregunta en sí. Siéntase libre de editar esto si lo encuentra inapropiado.

Answer 1

Tienes razón, Serre utiliza la frase "Por la definición de $\mathrm{dim}(\mathfrak{U})$ ", pero en realidad en ninguna parte define $\mathrm{dim}(\mathfrak{U})$ en la FAC.

Así que debemos tomar la explicación que sigue a la frase anterior como la definición. Es decir, $\mathrm{dim}(\mathfrak{U})$ es el número único en $\mathbb{N} \cup \{ \infty \}$ con la propiedad de que para todo $q \in \mathbb{N}$ tenemos $q > \mathrm{dim}(\mathfrak{U})$ si y sólo si $U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_q} = \emptyset$ para cualquier elección de índices distintos $i_0,\dots,i_q$ . Equivalentemente, tenemos $q \le \mathrm{dim}(\mathfrak{U})$ si y sólo si existen índices distintos $i_0,\dots,i_q$ tal que $U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_q} \ne \emptyset$ .

Esto demuestra que $$\mathrm{dim}(\mathfrak{U}) = \\ \sup \{q \in \mathbb{N} \mid \text{There exist distinct indices } i_0,\dots,i_q \text{ suich that } U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_q} \ne \emptyset\} .$$

Answer 2

Hay que ser precavido. Serre toma el límite de un sistema directo de grupos abelianos indexados por cubiertas abiertas $\mathfrak{U}$ . No existe el concepto correspondiente a un sistema directo de cubiertas abiertas.

Serre introduce un pedido previo en el plató $\mathcal{C}$ de cubiertas abiertas definiendo $\mathfrak{U} \le \mathfrak{V}$ si $\mathfrak{U}$ es más fino que $\mathfrak{V}$ es decir, si cada $U \in \mathfrak{U}$ está contenida en algún $V \in \mathfrak{V}$ . Por ejemplo, si $\mathfrak{U} \subset \mathfrak{V}$ entonces $\mathfrak{U} \le \mathfrak{V}$ . Pero no hay "mapas" razonables entre las cubiertas abiertas, por lo que no podemos formar algo así como un límite del sistema de cubiertas abiertas.

Intitucionalmente, una cubierta $\mathfrak{V}$ se refina añadiendo a $\mathfrak{V}$ "pequeños" conjuntos abiertos y tirando "grandes" conjuntos abiertos de $\mathfrak{V}$ .

Además, la topología $\mathfrak{T}$ de $X$ pertenece a $\mathcal{C}$ Sin embargo, no es la cubierta abierta más fina, sino la más gruesa. De hecho, cada $\mathfrak{U} \subset \mathfrak{T}$ Por lo tanto $\mathfrak{U}$ es más fino que $\mathfrak{T}$ y las cubiertas $\mathfrak{U}$ tal que $\mathfrak{T}$ es más fino que $\mathfrak{U}$ son precisamente los que tienen $X \in \mathfrak{U}$ . Así que no nos acercamos a $\mathfrak{T}$ tomando tapas cada vez más finas.

Como explicó Lord Shark the Unknown, se puede asociar a cada tapa abierta $\mathfrak{U}$ un complejo simplicial $K(\mathfrak{U})$ . El conjunto de todos estos complejos forma un sistema cuyos "mapas" son clases de contigüidad de ciertos mapas simpliciales ordinarios $K(\mathfrak{U}) \to K(\mathfrak{V})$ que surgen para $\mathfrak{U} \le \mathfrak{V}$ . Esto se utiliza para definir el Grupos de homología de Cech y Grupos de cohomología de Cech del espacio $X$ .