La inyección en el doble dual es un isomorfismo a partir de la codimensión $\geq 2$ subesquema

Question

Dejemos que $X$ sea un esquema integral cuasi-proyectivo y sea $F$ sea una gavilla coherente sin torsión sobre $X$ . Entonces existe un mapa inyectivo $$\phi\colon F\hookrightarrow F^{\vee\vee}.$$ Además, en mi situación se sabe que $F^{\vee\vee}$ es localmente libre. ¿Es cierto que $\phi$ es un isomorfismo a partir de un subesquema cerrado de codimensión $\geq 2$ ? Por supuesto, esto es válido si $X$ es normal, pero ¿es también cierto para los no normales $X$ ?

Answer 1

Creo que lo siguiente es cierto:

Propuesta. Dejemos que $X$ sea un esquema localmente noetheriano que es Gorenstein en codimensión uno y satisface la condición de Serre $S_1$ . Entonces, para toda gavilla coherente libre de torsión $F$ en $X$ el morfismo natural $$\phi\colon F \longrightarrow F^{\vee\vee}$$ es inyectiva, y es un isomorfismo a partir de un subesquema cerrado de codimensión $\ge2$ .

Prueba. En primer lugar, observamos que $\phi$ es inyectiva ya que $X$ es Gorenstein en codimensión cero y satisface $S_1$ y, por tanto, "sin torsión" y "sin torsión" son equivalentes [ Vasconcelos 1968 , Thm. A.1].

Ahora demostramos que $\phi$ es un isomorfismo a partir de un subesquema cerrado de codimensión $\ge 2$ . Nótese que el locus de no isomorfismo es cerrado ya que es el soporte de $\operatorname{coker}(\phi)$ que está cerrado ya que $\operatorname{coker}(\phi)$ es coherente. Basta con demostrar que $\phi$ es un isomorfismo en codimensión uno, por lo que basta con demostrar que si $R$ es un anillo local de Gorenstein, entonces todas las torsiones sin $R$ -Los módulos son reflexivos. Pero esto se deduce de [ Jans 1961 Cor. 1.3]. $\blacksquare$

Observación. La suposición de que $X$ es Gorenstein en codimensión uno y satisface $S_1$ es la condición de Marinari $G_1$ [ Marinari 1972 , Def. 4.5]. No he utilizado esta terminología en la declaración porque hay más de una definición conocida como $G_1$ en la literatura (cf. [ Ischebeck 1969 , Def. 3.16] y [ Reiten y Fossum 1970 , p. 142]).