Utilizando $\delta$ -¿método para "estimar" momentos indefinidos de una variable aleatoria?

Question

He publicado esto en MSE sin mucha suerte. No estoy seguro de si publicar aquí se considera cross-posting pero puedo eliminarlo si lo es.

Dejemos que $X\sim\mathcal N(\sqrt 2,1/x^2)$ . El valor esperado $\mathsf EX^{-1}$ es indefinido; sin embargo, podemos asignarle un valor mediante la interpretación del valor principal de Cauchy $$ \mathsf{E}X^{-1}\overset{\text{p.v.}}{=}\lim_{\epsilon\nearrow 0}\left(\int_{-\infty}^{-\epsilon}+\int_\epsilon^\infty\right)\frac{1}{t}f_X(t)\,\mathrm dt=\sqrt 2 x\mathcal D(x), $$ donde $\mathcal D(x):=e^{-x^2}\int_0^xe^{t^2}\,\mathrm dt$ es La integral de Dawson . Obsérvese que como $x\to\infty$ , $\mathsf{Var}X\to 0$ y por eso me pregunté qué pasaría si aplicara la $\delta$ -método de estimación $\mathsf EX^{-1}$ . Sea $g(X)=1/X$ . Ampliar $g$ en una serie de Taylor sobre $\mathsf EX=\sqrt 2$ da $$ g(X)=\frac{1}{\sqrt 2}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{\sqrt 2-X}{\sqrt 2}\right)^k $$ por lo que la evaluación del valor esperado requiere simplemente conocer los momentos centrales de la distribución normal. Encontramos $$ \mathsf Eg(X) %=\frac{1}{\sqrt 2}\sum_{k=0}^\infty\mathsf E\left(\frac{\sqrt 2-X}{\sqrt 2}\right)^k %=\frac{1}{\sqrt 2}\sum_{k=0}^\infty\mathsf E\left(\frac{X-\sqrt 2}{\sqrt 2}\right)^{2k} =\frac{1}{\sqrt 2}\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2x^2)^k}. $$ Si miramos hacia atrás, nuestra expresión para $\mathsf EX^{-1}$ es lógico que si luego dividimos $\mathsf Eg(X)$ por $\sqrt 2 x$ que obtenemos una estimación para $\mathcal D(x)$ en general $x$ a saber, $$ \mathcal D(x)\sim\frac{1}{2x}\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2x^2)^k}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^3}+\mathcal O(x^{-5}). $$ Comparando estos dos primeros términos con eqn. (9) aquí parece indicar que la expresión anterior es efectivamente una expansión asintótica de $\mathcal D(x)$ para grandes $x$ y por lo tanto $\mathsf E g(X)$ nos proporciona una expansión asintótica para el valor principal de Cauchy de $\mathsf EX^{-1}$ como $x\to\infty$ .

No hay razón para detenerse aquí, ya que podríamos ir más allá y aplicar el mismo enfoque a la "estimación" $\mathsf{Var}X^{-1}$ cediendo $$ \mathsf{Var}X^{-1}\sim %\mathsf Eg^2(X)-(\mathsf Eg(X))^2 \frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k+1)(2k-1)!!}{(2x^2)^k}-\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2x^2)^k}\right)^2 =\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{x^4}+\mathcal O(x^{-6}). $$

Mi pregunta tiene que ver fundamentalmente con qué es exactamente el $\delta$ -el método es la estimación cuando lo aplicamos a la estimación de momentos de variables aleatorias para las que los momentos no existen? En este caso concreto, podríamos afirmar (al menos eso creo) que el $\delta$ -nos dio una expansión asintótica para el valor principal de Cauchy de $\mathsf EX^{-1}$ . Sin embargo, para el segundo momento, la interpretación del valor principal de Cauchy de la integral nos daría $\mathsf EX^{-2}\overset{\text{p.v.}}{=}\infty$ mientras que el $\delta$ -método nos dio una expresión finita. Entonces, ¿qué diablos hizo el $\delta$ -¿método de estimación?

Answer 1

$\newcommand\vp\varepsilon$

1. Por supuesto, su serie divergente para $EX^{-1}$ y $EX^{-2}$ debe entenderse como expansiones asintóticas . El método delta no implica prácticamente nunca series, sino expansiones asintóticas, con un resto adecuadamente controlado.

2. Tome cualquier $k$ . Con las modificaciones comentadas anteriormente, su método delta estima muchas cosas. En particular, para $X\sim N(a,1/x^2)$ con un verdadero $a>0$ y $x\to\infty$ y para cualquier $\vp\in(0,a/2)$ estima que $$EX^{-k}1(|X|>\vp)=I_{k,a}+J_{k,a}(\vp),$$ donde $$I_{k,a}:=EX^{-k}1(|X-a|<a/2),$$ $$J_{k,a}(\vp):=EX^{-k}1(|X|>\vp,|X-a|>a/2).$$ Tenemos $$|J_{k,a}(\vp)|\le\vp^{-k}P(|X-a|>a/2)=2\vp^{-k}P(Z>ax/2)=o(x^{-m})\tag{1}$$ para cualquier $m$ , donde $Z\sim N(0,1)$ .

Utilizando la serie $$x^{-k}=\sum_{n=0}^\infty \binom{-k}{n}a^{-k-n}(x-a)^n$$ para $x$ con $|x-a|<a/2$ obtenemos la expansión asintótica $$ \begin{aligned}I_{k,a}&\sim\sum_{n=0}^\infty \binom{-k}{n}a^{-k-n} E(X-a)^n1(|X-a|<a/2) \\ &\sim\sum_{n=0}^\infty \binom{-k}{n}a^{-k-n} E(X-a)^n+o(x^{-m}) \end{aligned}$$ para cualquier $m$ (cf. (1)). Así pues, $$EX^{-k}1(|X|>\vp)\sim\sum_{n=0}^\infty \binom{-k}{n}a^{-k-n} E(X-a)^n.$$ En particular, $$EX^{-k}1(|X|>\vp)=\frac1{a^k}\Big(1+\frac{(k+1) k}{2 a^2 x^2}+\frac{(k+3) (k+2) (k+1) k}{8 a^4 x^4}\Big)+O(x^{-6}).$$

Estos resultados se mantendrán si, en lugar de fijar $\vp$ permitimos que $\vp$ para ir a $0$ pero no demasiado rápido: en particular el siguiente requisito muy suave es suficiente: $\vp>e^{-ba^2x^2/k}$ para un verdadero $b\in(0,1/2)$ y todo lo suficientemente grande $x>0$ .

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(Para $k=1$ , $EX^{-k}$ existe en $\mathbb R$ en el sentido de valor principal, es decir, como $\lim_{\vp\downarrow0}EX^{-1}1(|X|>\vp)$ pero esto no es válido para cualquier otra naturaleza $k$ . Esta distinción tiene poco o nada que ver con el método delta).