¿Es el polinomio $(x^3 + 2x + 1)$ irreducible en $\mathbb{Z}_{3}[x]$ ?

Question

Dejemos que $F$ sea un campo, $f \in F[x]$ de grado 2 o 3. Teorema: Si $f$ no tiene raíces, entonces $f$ es irreducible.

Utilizando este teorema, intento demostrar si $(x^3 + 2x + 1)$ es irreducible en $\mathbb{Z}_{3}[x]$ . Me está costando encontrar raíces para $(x^3 + 2x + 1)$ en $\mathbb{Z}_{3}[x]$ como el $x^3$ me desconcierta. Cuando tengo un polinomio de grado 2 como $(x^2 + 8)$ o $(x^2 + 1)$ es mucho más fácil ya que los polinomios de grado 2 se pueden factorizar en $(x + n) \cdot (x + n)$ . ¿Existe una manera más fácil de intentar encontrar las raíces de un polinomio de grado 3 como $(x^3 + 2x + 1)$ ? Se agradecerá cualquier comentario.

Answer 1

Dejemos que $f=X^3+2X+1\in (\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})[X]$ .

Comprobemos si $f$ tiene sus raíces en $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}=\{\overline0,\overline1,\overline2\}$ . (Para $f\in(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})[X]$ para tener una raíz en $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$ significa que existe $x\in\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$ tal que $f(x)\equiv0\bmod{3}$ .)

Vemos que $f(\overline0),f(\overline1),f(\overline2)\not\equiv0\bmod{3}$ Así que $f$ no tiene raíces en $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$ . Dado que el grado de $f$ es $\leqslant 3$ podemos concluir que $f$ es irreducible sobre $(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z})[X]$ por su pregunta anterior .

Answer 2

Un polinomio cúbico es reducible si y sólo si tiene un factor de grado $1$ ya que si

$\deg c(x) = 3, \tag 1$

y

$c(x) = a(x)b(x) \tag 2$

con

$\deg a(x), \deg b(x) \ge 1, \tag 3$

y también

$\deg a(x) + \deg b(x) = \deg c(x) = 3, \tag 4$

La aritmética elemental obliga precisamente a una de $\deg a(x)$ , $\deg b(x)$ para tomar el valor $1$ y el otro $2$ sin pérdida de generalidad podemos tomar

$\deg a(x) = 1, \; \deg b(x) = 2; \tag 5$

con

$\deg a(x) = 1 \tag 6$

podemos escribir

$a(x) = a_1 x + a_0, \; a_1 \ne 0; \tag 7$

entonces

$x_0 = -\dfrac{a_0}{a_1} \tag 8$

es claramente una raíz de $c(x)$ :

$c(x_0) = a(x_0)b(x_0) = 0. \tag 9$

Así, hemos demostrado que una cúbica reducible sobre $\Bbb Z_3$ tiene una raíz en ese campo; de hecho, un escrutinio cuidadoso de lo que hemos hecho revela que este resultado se mantiene sobre el campo de la hormiga $\Bbb F$ ; no hay nada intrínseco a $\Bbb Z_3$ en nuestro argumento. En cualquier caso, la cuestión que nos ocupa puede resolverse simplemente evaluando $x^3 + 2x + 1$ en cada elemento de $\Bbb Z_3$ :

$f(0) = 0^3 + 2 \cdot 0 + 1 = 1, \tag{10}$

$f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1 + 1 = 1, \tag{11}$

$f(2) = 2^3 + 2 \cdot 2 + 1 = 8 + 4 + 1 = 1, \tag{12}$

donde toda la aritmética se hace, por supuesto, en $\Bbb Z_3$ vemos que $f(x) = x^3 + 2x + 1$ no tiene ceros en el campo $\Bbb Z_3$ y por lo tanto es irreducible.

Para terminar, creo que es justo señalar que el resultado básico de esta respuesta, que un polinomio cúbico reducible debe tener un cero, no siempre es tan fácil de aplicar en la práctica; nuestra ventaja aquí es que $\Bbb Z_3$ sólo tiene tres elementos, lo que garantiza que la cantidad de cálculos es relativamente pequeña; en un campo de cardinalidad grande pero finita, o en un campo infinito, la cantidad de aritmética necesaria puede llegar a ser intrínsecamente grande. Sin embargo, el número de situaciones en las que se puede aplicar eficazmente la presente prueba es probablemente lo suficientemente grande como para que merezca la pena tenerla en la caja de herramientas de los "martillos" polinómicos.

Answer 3

Sí: no tiene una raíz en $\Bbb Z_3$ .