¿Qué es exactamente una fluctuación cuántica?

Question

Según el fluctuación cuántica según el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, la materia y la antimateria se crean y desaparecen al colisionar en una zona del espacio casi completamente vacía cerca del horizonte de sucesos. Sin embargo, ¿esto no puede ocurrir porque la masa no puede crearse ni destruirse por la ley de conservación de la masa?

Answer 1

La fluctuación cuántica es el fenómeno de observar resultados aleatorios de un experimento debido al principio de incertidumbre cuántica. De forma más rigurosa, una observable en un instante de tiempo determinado $t$ se describe en mecánica cuántica por un Operador hermitiano $\mathcal O(t)$ y la teoría no puede predecir el valor preciso de esta cantidad después de un medición . Sólo predice el probabilidad de varios resultados mediante el cálculo de la traza:

$$ P_{\mathcal O\rightarrow o}=tr(\rho_{\psi}|o(t)\rangle\langle o(t)|) $$

donde $\rho_\psi = |\psi\rangle\langle\psi|$ es el estado del sistema, un objeto que se determina por la preparación del sistema, y $|o(t)\rangle$ es un vector que satisface:

$$ \mathcal O(t)|o(t)\rangle= \mathcal o(t)|o(t)\rangle $$

donde $o(t)$ es un posible valor que $\mathcal O (t)$ puede tomar en el momento $t$ . Aquí estoy usando el Prescripción de Heisenberg para la evolución del tiempo.

En algunas situaciones muy especiales resulta que la probabilidad de un determinado resultado es uno o cercana a uno, de tal manera que no se producen "fluctuaciones" en los resultados. Ahora bien, si la probabilidad se aleja de uno, es de esperar que veamos fluctuaciones en los resultados si conseguimos reproducir el experimento $N$ tiempos.

La fuente de las fluctuaciones son las propiedades no conmutativas
de los operadores hermitianos que describen los observables. Por ejemplo, el no conmutatividad entre el observable que estamos midiendo y el estado asociado a la preparación del experimento

$$ [\rho_{\psi}, \mathcal O]\neq 0 $$

que puede entenderse como algún tipo de incompatibilidad entre la preparación del experimento y la cantidad que estamos midiendo, como preparar un girar con un valor determinado de $S_z=+1/2$ y la medición de la $S_{x}$ componente.

Ahora bien, esto no entra en conflicto con la conservación de la energía porque el valor de la energía sólo está bien definido en casos muy especiales. En mecánica cuántica esto significa que el operador hermitiano $H(t)$ que se asocia a la energía, el Hamiltoniano no puede conmutar con el estado $\rho_{\psi}$ . La conservación de la energía en la mecánica cuántica adopta una forma muy precisa y viene dada por la siguiente ecuación

$$ H(t)=H(0) $$

para cada instante de tiempo $t$ . Esto se deduce del hecho de que la ecuación que describe la evolución temporal de los observables viene dada por:

$$ \frac{d\mathcal O}{dt}=i[H(t),\mathcal O(t)] $$

por lo que para el caso en que $\mathcal O(t)=H(t)$ el RHS se desvanece. Esto es válido para cualquier sistema cerrado.

En la Teoría Cuántica de Campos, el Hamiltoniano no conmuta con ciertos operadores locales, o con operadores que son muy estrechos en el espacio-tiempo, como el valor de la distribución de carga o la distribución de energía en tiempos cortos. Esto implicará que tales cantidades fluctuarán tanto porque no conmutan con la RHS de la ecuación que determina la evolución temporal como porque el estado de vacío $\rho_0$ un estado con energía energía, no conmuta con tales cantidades.

Answer 2

Otra forma de pensar en las fluctuaciones cuánticas es decir que las "partículas virtuales" son amplitudes de campo que aparecen en integrales importantes, con contribuciones que no obedecen $E^2=p^2+m^2$ también conocido como $\omega^2=\vec{k}^2+m^2$ . Resumiré los puntos relevantes de los capítulos I.3-I.4 de La teoría cuántica de campos en pocas palabras La idea es cualitativamente la misma para otras interacciones, pero se centra en el caso especial más sencillo.

Trabajar en todo momento en $+---$ con $c=\hbar=1$ . Considere una masa- $m$ campo de bosones escalares reales $\varphi$ con la corriente $J$ de la densidad lagrangiana $\mathcal{L}=\frac12(\partial_\mu\varphi\partial^\mu\varphi-m^2\varphi^2)+J\varphi$ o, añadiendo una derivada total sin cambiar la física, $\mathcal{L}=-\frac12\varphi(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\varphi+J\varphi$ . La integral de la trayectoria $$Z(J):=\int\mathcal{D}\varphi\exp(i\int d^4 x\mathcal{L})=Z(J=0)\exp(iW(J))$$ donde $$W(J):=-\frac12\iint d^4xd^4yJ(x)D(x-y)J(y),$$ con el propagador $D(x-y)$ resolver $(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)D(z)=-\delta^{(4)}(z)$ . Podemos escribir fácilmente $D$ como una transformada de Fourier, por lo que $$W(J):=-\frac12\iiint d^4xd^4y\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{J(x)\exp (ik(x-y))J(y)}{k_\mu k^\mu-m^2+i\epsilon}.$$ Hay motivos tanto matemáticos como físicos para la $i\epsilon$ en el denominador. Lo primero es tener cuidado con la integración del contorno; el denominador no puede desaparecer para $\epsilon\in\Bbb R\setminus\{0\}$ pero sin este término tendríamos un denominador cero en la cáscara (es decir, cuando $k_\mu k^\mu=m^2$ ). Esto último es para permitir una cantidad arbitrariamente pequeña de amortiguación en la física, que tomamos como $0$ cuando al hacerlo se extrae un cálculo finito de algo. Como calentamiento fácil para el caso teórico de campo anterior, observe las soluciones de $(\partial_t^2+\gamma\partial_t+\omega_0^2)y=\delta(t)$ incluye $\frac{1}{2\pi}\int\frac{\exp(i\omega t)d\omega}{\omega_0^2-\omega^2+i\gamma\omega}.$

De todos modos, podemos obtener una interacción entre fuentes puntuales en $\vec{x}_1\,\vec{x}_2$ de los términos cruzados para $J(x)=\sum_{a=1}^2\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_a)$ , a saber. $$W_\text{int}(J):=-\iiint d^4xd^4y\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}_1)\exp (ik(x-y))\delta^{(3)}(\vec{y}-\vec{x}_2)}{k_\mu k^\mu-m^2+i\epsilon}\\=\iint dx^0\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\frac{\exp i\vec{k}\cdot(\vec{x}-\vec{y})}{k_i k^i+m^2},$$ donde finalmente podemos dejar el $\epsilon$ del denominador. En un tiempo finito $T$ La identificación $\exp iW=\exp -i\int dx^0 E$ nos permite identificar la energía potencial, $$E=-\int \frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\frac{\exp i\vec{k}\cdot(\vec{x}-\vec{y})}{k_i k^i+m^2}=-\frac{1}{4\pi r}\exp(-mr),\,r:=|\vec{x}_1-\vec{x}_2|.$$ Este es el potencial de Yukawa; se reduce a un familiar-desde-EM/gravedad $-\frac{1}{4\pi r}$ potencial, con fuerza $-\frac{1}{4\pi r^2}$ , si $m=0$ . (Por supuesto, no se deben a bosones escalares, pero eso no es importante ahora). Pero la fórmula exacta en función de $r$ no es la cuestión; lo que importa es que $E$ ( $W$ ) es una integral sobre $\vec{k}$ ( $k$ ), no sólo sobre la "cáscara" que satisface la relación de dispersión $k_\mu k^\mu=m^2$ . Ni siquiera necesitamos mantener $k_\mu k^\mu$ positivo, al igual que en el tunelado cuántico no se necesita una energía cinética positiva. Sin embargo, al igual que en el caso del tunelaje, cuanto más nos adentramos en la región clásicamente prohibida, menos contribuye el escenario a lo que sucede en promedio.

Pero como apuntaba @Nogueira, no es necesario un análisis fuera de la cáscara. En su lugar, podemos obtener amplitudes de transición de momento-espacio, por ejemplo, la Ec. (7) aquí da un elemento de la matriz $\langle\vec{p}_1^\prime\vec{p}_2^\prime|M_A+M_B|\vec{p}_1\vec{p}_2\rangle=\frac{g^2}{s-m^2}$ en términos de una variable de Mandelstam. Además, no sólo podemos discutir las fluctuaciones cuánticas de un campo on-shell, sino que también podemos distinguirlas de las fluctuaciones térmicas. Un campo de Klein-Gordon $\phi_t(\vec{x})$ de la transformada de Fourier $\tilde{\varphi}_t(\vec{k})$ da las fluctuaciones de la densidad de probabilidad $\exp-\int\frac{d^3\vec{k}}{(2\pi)^3}\tilde{\varphi}_t^\ast(\vec{k})\omega_\vec{k}\tilde{\varphi}_t(\vec{k})$ . (Ver aquí para la contraparte térmica).