¿Cómo encontrar la transposición parcial de los estados bipartitos a partir de su representación matricial?

Question

Supongamos que tenemos un operador de densidad dado por $\rho=\mid \Psi \rangle \langle \Psi \mid$ con $\mid \Psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\mid 1 \rangle\mid \ 0 \rangle-\mid \ 0 \rangle \mid 1 \rangle)=\frac{1}{\sqrt2}(\mid 10 \rangle-\mid01\rangle)$ vivir en un espacio como $\mathcal{H_s}\otimes\mathcal{H_a}$ donde 1 y 0 son los estados normales de subida y bajada, por ejemplo. Si aplicamos la transposición parcial $(T_s\otimes I_a)(\rho)$ que transpone el sistema S y deja A sin cambios, obtenemos algo así como $$\rho=\frac{1}{2}(\mid 10\rangle \langle 10\mid + \mid 01 \rangle\langle01\mid - \mid10\rangle\langle01\mid-\mid01\rangle\langle10\mid) \\(T_s\otimes I_a)(\rho)=\frac{1}{2}(\mid 10\rangle \langle 10\mid + \mid 01 \rangle\langle01\mid - \mid11\rangle\langle00\mid-\mid00\rangle\langle11\mid) $$ que se puede escribir en forma de matriz como $$ (T_s\otimes I_a)(\rho)=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $$ Si miramos el problema en forma de matriz desde el principio vemos que: $$ \rho = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $$ de manera que la transposición parece transponer los cuadrantes superior derecho e inferior izquierdo y dejar los demás sin cambios. Esto parece funcionar con todos los operadores de densidad que he probado. Mi pregunta es: ¿Funciona realmente y, si lo hace, por qué se cambian específicamente estos cuadrantes, es decir, por qué forman parte del sistema S y los otros del sistema A?

Agradezco su colaboración.

Answer 1

Dado un estado bipartito $\rho$ en un espacio $\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2$ con $\dim(\mathcal H_1)=n$ y $\dim(\mathcal H_2)=m$ su representación matricial (estándar) tiene la forma de bloque $$ \rho = \begin{pmatrix}\rho_{1\bullet,1\bullet} & \rho_{1\bullet,2\bullet} & \cdots & \rho_{1\bullet,n\bullet} \\ \rho_{2\bullet,1\bullet} & \rho_{2\bullet,2\bullet} & \cdots & \rho_{2\bullet,n\bullet}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \rho_{n\bullet,1\bullet} & \rho_{n\bullet,2\bullet} & \cdots & \rho_{n\bullet,n\bullet}\end{pmatrix},\tag1 $$ donde $\rho_{i\bullet,j\bullet}$ denota aquí el $m\times m$ matriz con componentes $(\rho_{i k,j\ell})_{k,\ell}$ .

La transposición parcial se calcula fácilmente a partir de (1): $(T\otimes I)\rho$ equivale a tomar la transposición de (1) como si se tratara de una matriz regular (así Por ejemplo $\rho_{1\bullet,2\bullet}$ y $\rho_{2\bullet,1\bullet}$ cambiaría de lugar). Además, la transposición parcial en el segundo espacio, $(I\otimes T)\rho$ se obtiene tomando la transposición de cada bloque en (1), es decir, sustituyendo $\rho_{i\bullet,j\bullet}\to\rho_{i\bullet,j\bullet}^T$ para cada $i,j$ .

En tu ejemplo, fíjate en que la transposición parcial con respecto al primer espacio equivale a tener la parte superior derecha y la inferior izquierda $2\times2$ Los bloques cambian de lugar.