Encuentra el volumen dentro del cono $ z= 2a-\sqrt{x^2+y^2} $ y en el interior del cilindro $x^2+y^2=2ay$

Question

Tengo esta pregunta y he visto aquí que hay preguntas similares pero llevo un tiempo intentando resolverla sin suerte.

Tengo que encontrar el volumen dentro del cono $z= 2a-\sqrt{x^2+y^2}$ y en el interior del cilindro $x^2+y^2=2ay$ .

Intento utilizar coordenadas cilíndricas: $x=r\cos\theta\,\,\, y=r\sin\theta\,,\, z=z$ .

Creo que principalmente tengo problemas para encontrar los límites de la integración $\iiint rdrdzd\theta$ :

$0\leq \theta\leq 2\pi$ , $0\leq z \leq 2a$ y para $r$ . Creo que aquí es donde me equivoco... Tengo $0 \leq r \leq z\,\sin(\theta)/(1-\sin(\theta)).$

Si alguien sabe o puede darme alguna ayuda se lo agradecería.

Answer 1

El área de la sección transversal de este volumen es la intersección entre las secciones circulares del cono y del cilindro. Si llamamos a esa sección transversal $A(z)$ , entonces el volumen es

$$V = \int_0^{2 a} dz \: A(z)$$

Así que el truco es encontrar $A(z)$ . No hay nada que pueda sustituir a un dibujo:

En rojo está la sección transversal del cilindro, y en azul las secciones transversales del cono a varios valores de $z$ . Los límites de integración dependerán de $z$ Cuando la sección transversal del cono interseca la sección transversal del cilindro por debajo del centro de la sección transversal del cilindro, la intersección está limitada por el arco superior del cono y el arco inferior del cilindro. Sin embargo, cuando el cono CS interseca al cilindro CS por encima del centro del cilindro CS, también hay un área adicional a la izquierda y a la derecha de los puntos de intersección.

Los puntos de intersección son bastante fáciles de encontrar; son, en polares:

$$\sin{\theta} = 1-\frac{z}{2 a}$$

El área de la sección transversal en $z$ es la suma de dos contribuciones: una ( $A_1$ ) delimitado por el círculo rojo, el otro ( $A_2$ ) por el círculo azul.

$$A_1 = \int_{ \arcsin{(1-z/(2 a))}}^{\pi - \arcsin{(1-z/(2 a))}} d\theta \: \int_0^{2 a-z} dr \, r = (2 a-z)^2 \left[\pi - 2\arcsin{\left(1-\frac{z}{2 a} \right)}\right] $$

$$A_2 = 2 \int_0^{\arcsin{(1-z/(2 a))}} d\theta \: \int_0^{2 a \sin{\theta}} dr \, r = 2 a^2 \left [ \arcsin{\left(1-\frac{z}{2 a} \right)} - \left(1-\frac{z}{2 a} \right) \sqrt{1-\left(1-\frac{z}{2 a} \right)^2} \right ]$$

El área de la sección transversal $A(z)=A_1+A_2$ ; integramos sobre $z$ para obtener el volumen. Podemos hacer la sustitución $u=1-z/(2 a)$ y obtener

$$V=4 a^3 \int_0^1 du \: [\pi u^2 +(1- 2 u^2) \arcsin{\sqrt{1-u^2}} -u \sqrt{1-u^2}]$$

o

$$V= \left (2 \pi - \frac{32}{9}\right )a^3$$

Answer 2

Convirtiendo la ecuación cartesiana de la base ( $z=0$ ) del cilindro vertical dado, que está centrado en $(0,a)$ y tiene un radio $a$

$$x^{2}+y^{2}=2ay\Leftrightarrow x^{2}+\left( y-a\right) ^{2}=a^{2}\tag{1}$$

a coordenadas polares $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta $ Tengo

$$r=2a\sin \theta ,\tag{1a}$$

porque $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ , $r\ge 0$ y $$ \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}-2ay &=&0\Leftrightarrow r^{2}-2ar\sin \theta =0 \\ \Leftrightarrow r\left( r-2a\sin \theta \right) &=&0\Leftrightarrow r=2a\sin \theta .\tag{1b} \end{eqnarray*} $$ Tenga en cuenta que $(1\mathrm{a})$ se puede hallar directamente a partir de la figura de abajo utilizando una simple trigonometría.

$$\text{Disk }R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\le x^{2}+\left( y-a\right) ^{2}\le a^{2} \};\, 0\leq r\leq 2a\sin \theta , 0\leq \theta \leq \pi .$$

El volumen de la región situada en el interior del cilindro y limitada desde abajo por el plano $z=0$ y desde arriba por el cono dado

$$z=2a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2a-r\tag{2}$$

puede expresarse mediante la integral doble $$ V=\iint_{R}2a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA,\tag{3} $$ donde $R$ es el disco cuyo límite es $(1)$ . En coordenadas coordenadas polares $dA=dx\, dy=r\,dr\,d\theta $ y $R$ se define por $0\leq r\leq 2a\sin \theta $ con $0\leq \theta \leq \pi $ . Así que $(3)$ se transforma en $$ \begin{eqnarray*} V &=&\int_{0}^{\pi }\left( \int_{0}^{2a\sin \theta }\left( 2a-r\right) \,r\,dr\right) \,d\theta \tag{4} \\ &=&\int_{0}^{\pi }\left. ar^{2}-\frac{1}{3}r^{3}\right\vert _{0}^{2a\sin \theta }\,d\theta \\ &=&a\int_{0}^{\pi }\left( 2a\sin \theta \right) ^{2}\,d\theta -\frac{1}{3} \int_{0}^{\pi }\left( 2a\sin \theta \right) ^{3}\,d\theta \\ &=&2a^{3}\pi -\frac{32}{9}a^{3}=\left( 2\pi -\frac{32}{9}\right) a^{3}, \end{eqnarray*} $$ donde las integrales de $\sin^2\theta$ y $\sin^3\theta$ se evaluaron de la siguiente manera: $$ \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d\theta &=&\int_{0}^{\pi }\frac{1-\cos 2\theta }{2}\,d\theta =\frac{\pi }{2},\tag{4a} \\ \int_{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta &=&\int_{0}^{\pi }\frac{3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}\,d\theta =\frac{4}{3}.\tag{4b} \end{eqnarray*} $$

Comentario final . Quizás en una relación más estrecha con el espíritu de la cuestión las integrales dobles $(3)$ y $(4)$ pueden escribirse como integrales triples, respectivamente,

$$ \begin{equation*} V=\iint_{R}\left( \int_{0}^{2a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dz\right) \,dA \end{equation*}\tag{3$^\prime$} $$ y $$ \begin{equation*} V=\int_{0}^{\pi }\left( \int_{0}^{2a\sin \theta }\left( \int_{0}^{2a-r}dz\right) \,r\,dr\right) \,d\theta .\tag{4$^\prime$} \end{equation*} $$