Dejemos que $u(x+iy)$ sea una función armónica positiva definida en $-1<y<1$ tal que $u(n) \to \infty$ . Demostrar que $u(x+iy) \to \infty$ como $x \to \infty$ por cada $y$ .
Creo que casi tengo la solución: El teorema de Montel para funciones armónicas positivas dice que la familia de funciones $u_n(z)=u(z+n)$ converge (localmente de manera uniforme) a una función armónica en todas partes. Como ésta es un límite de funciones positivas, es una función no negativa. Una función armónica no negativa debe ser cero por un argumento de conectividad, por lo que $u$ es en todas partes cero. En otras palabras, para cada $x,y$ , $u(x+n+iy) \to \infty$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo refinar este argumento para concluir que para cada $y$ , $f(x):=u(x+iy)$ tiende a $\infty$ en $x$ .
Un enfoque fue probado aquí no trabajar.
Un enfoque totalmente diferente que probé fue asignar el dominio al disco de la unidad utilizando el mapa $2 \operatorname{arctanh} (\frac\pi 4 z)$ y utilizar el principio de Harnack, que es lo primero que se nos ocurre para las funciones armónicas positivas, pero este mapa envía los puntos enteros muy cerca de la frontera del disco unitario, por lo que Harnack no es efectivo en su desigualdad allí.
