Cómo demostrar que este sistema-ecuación tiene al menos dos soluciones enteras positivas

Question

Demuestre que para cualquier $k\ge 100,(k\in N^{+})$ , hay exsit $p\in N^{+}$ , como por ejemplo $$\begin{cases} a+b+c=k\\ abc=p\\ a>b>c \end{cases}$$ tiene al menos dos enteros positivos solución $(a,b,c)$

Algunos dicen que hay que usar la inducción matemática, pero yo creo que no se puede resolver, así que uso las fórmulas de Vieta. $$x^3-kx^2+() x-p=0$$ ¿Qué enfoques crees que podría tomar para resolver el siguiente paso

Este problema es de cuando resuelvo lo siguiente Matemático 2014 :

Answer 1

Pista/Respuesta corta : Busca pares de triples de la forma $(x,2y,3z),(6x,y,z)$ .

Respuesta más larga: Puedo demostrar que el resultado ya es válido para $n\geq 83$ (además, una búsqueda informática muestra que el mayor $n$ para el que no hay solución es $n=22$ ). De hecho, para tal $n$ pongamos $u=\frac{n+1}{22}$ y $v=\frac{n-1}{17}$ . Tenemos $$v-u=\frac{5n-39}{374} \geq \frac{376}{374} > 1,$$ por lo que existe un número entero (necesariamente positivo) $a$ entre $u$ y $v$ . Entonces $\frac{n}{22} < a <\frac{n}{17}$ y podemos considerar los triples $p=(2a,4(n-17a),3(22a-n))$ y $p'=(2(n-17a),22a-n,12a)$ .

Todas las entradas en $p$ son distintos, excepto cuando $n$ es divisible por $35,64$ o $134$ .

Todas las entradas en $p'$ son distintos, excepto cuando $n$ es divisible por $23$ o $56$ .

Los trillizos $p$ y $p'$ son distintos, excepto cuando $n=18a$ o $n=20a$ (de hecho, si ponemos $\sigma_2(x,y,z)=xy+xz+yz$ tenemos la identidad $\sigma_2(p)-\sigma_2(p')=-10(n-18a)(n-20a)$ ).

Por lo tanto, si $n$ no es divisible por ninguno de $18,20,23,34,35,56,64$ o $134$ , los trillizos $p$ y $p'$ satisfacer todo lo que queremos y ya está.

El resto de los casos se pueden hacer a mano:

Si $n$ es divisible por $20$ , $n=20t$ Considere los trillizos $q=t(1,9,10)$ y $q'=t(2,3,15)$ .

Si $n$ es divisible por $23$ , $n=23t$ Considere los trillizos $q=t(4,9,10)$ y $q'=t(5,6,12)$ .

Si $n$ es divisible por $35$ , $n=35t$ Considere los trillizos $q=t(1,14,20)$ y $q'=t(2,5,28)$ .

Si $n$ es divisible por $56$ , $n=56t$ Considere los trillizos $q=t(1,23,32)$ y $q'=t(2,8,46)$ .

Si $n$ es divisible por $64$ , $n=64t$ Considere los trillizos $q=t(1,30,33)$ y $q'=t(3,6,55)$ .

Si $n$ es divisible por $134$ , $n=134t$ Considere los trillizos $q=t(1,45,88)$ y $q'=t(3,11,120)$ .

El único caso que queda ahora es el de que $n=18a$ (para que $p$ y $p'$ coinciden).

Si $a$ es divisible por $2$ , $a=2s$ Considere los trillizos $q=s(2,13,21)$ y $q'=s(3,7,26)$ .

Si $a$ es divisible por $3$ , $a=3s$ Considere los trillizos $q=s(1,18,35)$ y $q'=s(2,7,45)$ .

Si $a$ es divisible por $5$ , $a=5s$ Considere los trillizos $q=s(1,24,65)$ y $q'=s(2,10,78)$ .

Si $a$ es divisible por $7$ , $a=7s$ Considera los trillizos $q=s(1,29,96)$ y $q'=s(4,6,116)$ .

De lo contrario, debemos tener $a\geq 11$ Así que $n\geq 18\times 11$ y razonando como arriba vemos que $v-u\geq 2$ por lo que hay al menos dos enteros entre $u$ y $v$ . Podemos entonces reemplazar $a$ (tal que $18a=n$ ) con un $a'$ tal que $n\neq 18a'$ , con lo que concluye la prueba.