El módulo libre es un derecho $R$ -módulo con operación de escalado.

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo y ruppose $F$ es un conjunto de todas las funciones de $S$ à $R$ . Entonces, cada elemento $u\in S$ puede verse como una función de $S$ à $R$ : $$u(t)=\begin{cases} 1 \hbox{ if } t=u\\ 0 \hbox{ if } t\neq u \end{cases}$$ Así que $S$ es un subconjunto de $F$ .

Tenga en cuenta que $F$ es un grupo abeliano con $$[f+g](t):=f(t)+g(t)$$ para todos $f,g\in F$ y $t\in S$ .

Estoy tratando de demostrar que $F$ es un derecho $R$ -módulo con operación de escalado $$[f\cdot r](t):=f(t)r$$ para todos $f\in F$ , $r\in R$ y $t\in S$ pero tengo problemas para mostrar esto.

Answer 1

Para mostrar la demanda requerida tenemos que comprobar que para cualquier $f,g\in F$ , $r,s\in R$ y $t\in S$ tenemos

1)) $[(f+g)\cdot r](t)=([f\cdot r]+ [g\cdot r])(t)$

2)) $[f\cdot (r+s)](t)=([f\cdot r]+ [f\cdot s])(t)$ .

Para (1) tenemos

$[(f+g)\cdot r](t)=([f+g](t))r=(f(t)+g(t))r=f(t)r+g(t)r=[f\cdot r](t)+[g\cdot r](t)=([f\cdot r]+ [g\cdot r])(t)$

Para (2) tenemos

$[f\cdot (r+s)](t)=f(t)(r+s)=f(t)r+f(t)s=[f\cdot r](t)+ [f\cdot s](t)=([f\cdot r]+ [f\cdot s])(t)$ .