Un problema en el anillo Cohen Macaulay

Question

Si $A$ es un anillo local de Cohen Macaulay, y $B$ es un anillo cociente de $A$ y $B$ es también Cohen Macaulay, Entonces es $B$ siempre es un cociente por una secuencia regular de $A$ ?

Answer 1

La respuesta es no. Dejemos que $k$ sea un campo. Sea $A=k[x]/x^2$ y que $B=k$ .

$A$ es Artiniano, por lo que es Cohen Macaulay. $B$ es claramente Cohen Macaulay. Pero el único ideal no trivial en $A$ es $(x)$ que no está generada por una secuencia regular, porque cada elemento de la misma es un divisor de cero.

Answer 2

Como otro ejemplo, digamos $\mathfrak{m}$ es el ideal máximo de $A$ . Entonces $B:=A/\mathfrak{m}$ es Cohen-Macaulay (campo), pero $\mathfrak{m}$ no es generado por una secuencia regular, a menos que $A$ es regular.

Answer 3

He aquí un ejemplo aún mejor:

$A=(k[x,y,z]/(xy-z^2))_{\mathfrak m}$ con ${\mathfrak m}=(x,y,z)$ , $B=k[x]_{(x)}$ . Aquí $A$ es Gorenstein y $B$ es regular. El mapa viene dado por $x\mapsto x$ y $y,z\mapsto 0$ .

Geométricamente, $B$ corresponde a una línea que pasa por el vértice de un cono cuadrado correspondiente a $A$ . No es un cociente por una sucesión regular, porque tendría que ser sólo un elemento regular por razones de dimensión, pero la línea no es un divisor de Cartier, por lo que no puede definirse por una sola ecuación. Para ver que no es un divisor de Cartier, por ejemplo, se puede calcular su número de auto-intersección, que es $\frac 12$ .

Answer 4

Una serie de ejemplos más generales (cuando esto falla) se da eligiendo $B$ ser Cohen-Macaulay, pero no Gorenstein y $A$ para ser Gorenstein.

Un ejemplo explícito es cuando $B=(k[x,y,z]/(xy,yz,zx))_{\mathfrak m}$ es el anillo de coordenadas afín de tres líneas en $\mathbb A^3$ que se reúnen en un punto, pero que no están contenidos en un plano y $A=k[x,y,z]_{\mathfrak m}$ donde ${\mathfrak m}=(x,y,z)$ .