Pregunta sobre sumas con un límite inferior desconocido

Question

No sé cómo proceder para encontrar la solución a este problema. $$\sum_{i=6}^8(\sum_{j=i}^8 (j+1)^2)$$

Obviamente el último paso no es muy difícil, pero el hecho de que el límite inferior de la suma entre paréntesis es i no estoy seguro de cómo resolver esto. En las clases hasta ahora sólo hemos tratado los casos en los que j=1. Sin embargo, supongo que sería beneficioso volver a indexar, de modo que tengamos

$$\sum_{i=6}^8(\sum_{k=i+1}^9 k^2)$$

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Como sólo hay tres valores de $i$ Yo lo reescribiría como $$\sum\limits_{j=6}^8 (j+1)^2 + \sum\limits_{j=7}^8 (j+1)^2 + \sum\limits_{j=8}^8 (j+1)^2$$

Answer 2

Como se ha señalado en la primera respuesta, sería más fácil calcularlo por simple expansión ya que $i$ puede asumir sólo $3$ valores.

Sin embargo, ya que ha preguntado por la reindexación, este es un posible enfoque:

$$\sum_{i=6}^8\sum_{j=i}^8(j+1)^2=\sum_{i=7}^9\sum_{j=i}^9 j^2=\sum_{7\le i\le j\le 9} j^2=\sum_{j=7}^9\sum_{i=7}^j j^2=\sum_{j=7}^9(j-6)j^2=7^2+2(8^2)+3(9^2)\;\;\blacksquare$$