¿Puedes expresar cada número algebraico en términos de $\pi$

Question

Estaba haciendo mis deberes de física, cuando me di cuenta de que la respuesta que acababa de calcular estaba muy cerca de $\sqrt{3}$ . El número era $\frac{441\pi}{800} \approx 1.73180… .$

Para ponerlo en contexto, $\sqrt{3} - \frac{441\pi}{800} \approx 2.478 \times10^{-4}$ , porcentaje de error $\approx0.0143$

Esto me hizo pensar si hay manera de expresar los números algebraicos, si no todos los irracionales, como $$n = \sum_{r=1}^{\infty} a_r\pi^r$$ donde $a_i \in\mathbb{Q},n\in\mathbb{R}$ y $n$ ¿es algebraico?

Answer 1

$n = \sum_{r=1}^{\infty} a_r\pi^r$

El problema es $\pi^r \rightarrow \infty$ como $r \rightarrow \infty$ . Así que tienes 2 opciones. Puede definir $a_r$ para ser $0$ para $r >$ algún número natural $n$ . Si se hace eso, entonces nunca se puede lograr la igualdad porque eso sería equivalente a encontrar un polinomio que escupe un número algebraico dado $pi$ lo cual es imposible, ya que los números algebraicos son cerrados bajo la aritmética polinómica.

La segunda opción es definir $a_r$ para acercarse $0$ como $r \rightarrow \infty$ . En ese caso, lo que estás haciendo es tomar como límite de una secuencia un número algebraico. Dado que puedes elegir $a_r$ arbitrariamente, entonces es trivialmente posible, por ejemplo, elegir cualquier número racional que devuelva $z \cdot 10^{-z}$ después de ser multiplicado por $\pi^r$ donde z es el $z^{th}$ dígito a la derecha del punto decimal del número algebraico (no importa cuáles son los decimales restantes, simplemente ignóralos), y ajusta para el siguiente número racional $a_{r+1}$ . No necesitas el $\pi^r$ De hecho, se puede conseguir la igualdad para cualquier número real, no sólo para los números algebraicos. Las secuencias infinitas son muy buenas en ese sentido.

Answer 2

Para cada número real $x$ definiremos por inducción una secuencia $(a_n)$ , de tal manera que $$a_0 = 0$$

$$a_{r+1} \in \mathbb{Q} \quad \text{ such that } \quad \frac{1}{\pi^{r+1}} \left(x - \sum_{k=0}^r a_k \pi^k - \frac{1}{r+1}\right) \leq a_{r+1} \leq \frac{1}{\pi^{r+1}} \left(x - \sum_{k=0}^r a_k \pi^k\right)$$

Una secuencia de este tipo siempre se puede construir por densidad de $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{R}$ . Y tienes $$x- \frac{1}{r+1} \leq \sum_{k=0}^{r+1} a_k \pi^k \leq x$$

por lo que la serie $\sum a_k \pi^k$ converge a $x$ .