Suma de vectores, ¿cómo puede ser este vector u-p?

Question

¿Cómo puede ser u-p este vector ortogonal a p? ni siquiera tiene la misma dirección que p. (p es la proyección de u sobre p)

Answer 1

$d = u-p$ debe cumplir: \begin{align} p + d &= u \iff \\ p + (u-p) &= u \end{align} y esto lo hace.

Answer 2

La proyección se calcula como

$$ {\bf p} = ({\bf u}\cdot \hat{{\bf v}})\hat{{\bf v}} $$

Calcula ahora

$$ {\bf p}\cdot ({\bf u} - {\bf p}) = {\bf p}\cdot {\bf u} - {\bf p}\cdot {\bf p} = ({\bf u}\cdot \hat{{\bf v}})({\bf u}\cdot \hat{{\bf v}}) - ({\bf u}\cdot \hat{{\bf v}})({\bf u}\cdot \hat{{\bf v}}) = 0 $$

Los vectores son ortogonales.

Answer 3

Imagina los vectores como instrucciones para caminar una determinada distancia en una dirección concreta.

$p$ es caminar hacia el este $4m$ .

$u - p$ es caminar hacia el norte $3m$ .

$u$ es caminar aproximadamente hacia el este-noreste $5m$ .

Piensa en un $3, 4, 5$ triángulo. Se puede llegar desde la parte inferior izquierda por el $5$ lado o el $3$ y $4$ lados en secuencia. El efecto neto es el mismo.