Si $x_j \to x $ y $||Tx_j ||\le k $ , demuestran que $||Tx|| \le k $ para un operador lineal continuo $T$

Question

Dejemos que $T $ sea un operador lineal continuo. Supongamos que ${x _j } $ es una secuencia en algún espacio de Banach $X $ con límite $x $ , de tal manera que $||Tx _j || \le k $ . Demostrar que $||Tx ||\le k $

Bueno, supongo que debería usar eso $T $ y la norma son funciones continuas, por lo que la composición es a. Ahora pongamos $\phi (x) = ||Tx ||$ entonces $\lim \phi (x _j) = \phi (x) $ . Y como $\phi (x _j) \le k $ debemos tener $\sup _{x _j } \phi (x _j ) \le k $

¿Correcto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí. Está bien. Es mejor que uses $limsup$ y $liminf$ . Pero el límite existe, así que está bien.

Con esto puedes ver la mecánica de la solución.

$|Tx|=|T(x-x_j)+Tx_j|\leq \|T\|\cdot|x-x_j|+|Tx_j|\leq \epsilon+k$ para $j$ lo suficientemente grande y arbitrario $\epsilon$