Factorización tipo Cholesky de matrices definidas positivas

Question

Dejemos que $\boldsymbol{A}$ ser un $n$ -por- $n$ matriz definida positiva. Estoy interesado en encontrar $\boldsymbol{X}$ tal que $\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}$ , con la condición de que $\boldsymbol{X}$ ser $n$ -por- $n$ también. La descomposición Cholesky es una forma de conseguirlo. La descomposición Eigen es otra. Sin embargo, me interesa saber si

(1) el número de soluciones es finito

(2) y si es así, ¿hay alguna forma de encontrarlos todos?

En tercer lugar, si permitimos $\boldsymbol{X}$ para ser $m$ -por- $n$ donde $m > n$ ¿Cómo difieren las respuestas a (1) y (2)? Supongo que en este caso, el número de soluciones es probable que no sea finito, y si es así, ¿cuáles son las posibles formas de encontrar algunas de las soluciones para dado $m$ y $n$ ?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Pregunta 1 : Supongamos que R es una matriz de rotación, por lo tanto es ortogonal, y $R^T = R^{-1}$ y por lo tanto $R^T \cdot R = I$ (donde $I$ es la matriz de identidad). Entonces dejemos que $X = R \cdot Y $ . Entonces $ X^T \cdot X = (Y^T \cdot R^T ) \cdot (R \cdot Y) = Y^T \cdot (R^T \cdot R) \cdot Y = Y ^T \cdot Y$ y cualquier matriz de rotación $R$ deja esta constante. Por lo tanto, el número de soluciones es infinito (incluso continuo/incontable)

Answer 2

No es único. Tenga en cuenta que para cualquier $m\times m$ ( $m\geq n$ ) Matriz diagonal $D$ con entradas diagonales no nulas, $(X^TD)D^{-1}X=A$ .