Considere esta ecuación en el orden más bajo en épsilon , ¿qué significa?

Question

Estoy leyendo un artículo sobre un modelo de osciladores (modelo Kuramoto), y me encontré con la siguiente ecuación de Fokker-Planck.

r(t) se define así: $$re^{i\omega}=\int \int e^{i\theta}\rho(t,\theta.\omega )g(\omega)d\omega d\theta$$ rho es una densidad (que tenía la restricción de integrarse a la unidad) y ahora está perturbada de esta manera: $$\rho (\omega,t,\theta) = \epsilon \eta(\omega,t,\theta) + 1/2\pi \ and \ \epsilon<<1$$

ahora la ecuación de Focker Planck dice : $$\varepsilon {\frac{\partial \eta }{\partial t}}=\varepsilon D{\frac{\partial ^{2}\eta }{\partial \theta ^{2}}}- {\frac{\partial }{\partial \theta}}\left [ \left ( \frac{1}{2 \pi}+\epsilon\eta \right )v(\omega,t,\theta) \right ]$$

...luego dice "Consideremos esta ecuación en el orden más bajo de $\eta$ . Para encontrar el valor de O( $\epsilon$ ) en el término entre corchetes, observamos que r(t) es O( $\epsilon$ ). Más concretamente, encontramos : $$r(t)=\epsilon r_1(t)+O(\epsilon^2) \\where:r_1e^{i\psi }=\int \int e^{i\theta}\eta(t,\theta.\omega )g(\omega)d\omega d\theta$$

Así que Ok, reescriben la primera ecuación enchufando la densidad modificada (eqn.2). Esto es lo que obtengo:

$$r(t)e^{i\psi}=\int\int e^{i\theta}\rho(\theta,t,\omega)g(\omega)d\omega d\theta\\=\int\int e^{i\theta}\left[\frac{1}{2\pi}+\epsilon\eta(\theta,t,\omega)\right]g(\omega)d\omega d\theta\\=\epsilon\int\int e^{i\theta}\eta(\theta,t,\omega)g(\omega)d\omega d\theta+\frac{1}{2\pi}\int\int e^{i\theta}g(\omega)d\omega d\theta$$

$$\Leftrightarrow r(t)=\epsilon e^{-i\psi}\int\int e^{i\theta}\eta(\theta,t,\omega)g(\omega)d\omega d\theta+\frac{e^{-i\psi}}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}g(\omega)e^{i\theta}d\omega d\theta\\=\epsilon r_{1}(t)+\frac{e^{-i\psi}}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(\omega)d\omega\int_{0}^{2\pi}e^{i\theta}d\theta$$ ...nada es de orden épsilon al cuadrado aquí? Además no voy a apostar demasiado pero me parece que la segunda integral se desvanece por la $[e^i\theta]_0^{2\pi}$ ...

Gracias.

Answer 1

En la teoría de la perturbación tienes una solución exacta para un problema que se aproxima a tu problema real. Podrías tener un potencial que se acerca a un oscilador armónico, que expresas como $V(x)=kx^2+\epsilon W(x)$ . Se conoce una solución exacta en el límite $\epsilon =0$ y estamos interesados en una solución aproximada cuando $\epsilon \ne 0$ . Si $\epsilon$ es pequeño, esperas que el proceso converja y que el primer o los primeros términos sean una buena aproximación. A menudo se puede introducir el potencial alterado en las ecuaciones y seguir la derivación de la solución exacta. $\epsilon$ mantiene el orden de los términos. A menudo se encuentra la solución como una serie de potencias en $\epsilon$ . El término de primer orden proviene de la solución original que reacciona al cambio de potencial. El término de segundo orden proviene de la perturbación de la solución original que reacciona al cambio de potencial y así sucesivamente. Sigue así hasta que la solución sea tan precisa como quieras o te canses.