Estoy leyendo un artículo sobre un modelo de osciladores (modelo Kuramoto), y me encontré con la siguiente ecuación de Fokker-Planck.
r(t) se define así: $$re^{i\omega}=\int \int e^{i\theta}\rho(t,\theta.\omega )g(\omega)d\omega d\theta $$ rho es una densidad (que tenía la restricción de integrarse a la unidad) y ahora está perturbada de esta manera: $$\rho (\omega,t,\theta) = \epsilon \eta(\omega,t,\theta) + 1/2\pi \ and \ \epsilon<<1$$
ahora la ecuación de Focker Planck dice : $$ \varepsilon {\frac{\partial \eta }{\partial t}}=\varepsilon D{\frac{\partial ^{2}\eta }{\partial \theta ^{2}}}- {\frac{\partial }{\partial \theta}}\left [ \left ( \frac{1}{2 \pi}+\epsilon\eta \right )v(\omega,t,\theta) \right ] $$
...luego dice "Consideremos esta ecuación en el orden más bajo de $\eta$ . Para encontrar el valor de O( $\epsilon$ ) en el término entre corchetes, observamos que r(t) es O( $\epsilon$ ). Más concretamente, encontramos : $$ r(t)=\epsilon r_1(t)+O(\epsilon^2) \\where:r_1e^{i\psi }=\int \int e^{i\theta}\eta(t,\theta.\omega )g(\omega)d\omega d\theta $$
Así que Ok, reescriben la primera ecuación enchufando la densidad modificada (eqn.2). Esto es lo que obtengo:
$$r(t)e^{i\psi}=\int\int e^{i\theta}\rho(\theta,t,\omega)g(\omega)d\omega d\theta\\=\int\int e^{i\theta}\left[\frac{1}{2\pi}+\epsilon\eta(\theta,t,\omega)\right]g(\omega)d\omega d\theta\\=\epsilon\int\int e^{i\theta}\eta(\theta,t,\omega)g(\omega)d\omega d\theta+\frac{1}{2\pi}\int\int e^{i\theta}g(\omega)d\omega d\theta$$
$$\Leftrightarrow r(t)=\epsilon e^{-i\psi}\int\int e^{i\theta}\eta(\theta,t,\omega)g(\omega)d\omega d\theta+\frac{e^{-i\psi}}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}g(\omega)e^{i\theta}d\omega d\theta\\=\epsilon r_{1}(t)+\frac{e^{-i\psi}}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(\omega)d\omega\int_{0}^{2\pi}e^{i\theta}d\theta$$ ...nada es de orden épsilon al cuadrado aquí? Además no voy a apostar demasiado pero me parece que la segunda integral se desvanece por la $[e^i\theta]_0^{2\pi}$ ...
Gracias.
