Ejemplo de cálculo de probabilidades condicionales

Question

Llenamos una bolsa con tres frutas. Cada fruta que ponemos en la bolsa tiene la misma probabilidad de ser una manzana, un plátano o una pera. Uno saca al azar una fruta de la bolsa y es una manzana. ¿Cuál es la probabilidad de que las otras dos frutas de la bolsa sean también manzanas?

Yo diría que nos da igual el resultado del primer sorteo y la probabilidad de que los otros dos sean manzanas es $(\frac 13)^2$

Answer 1

Las tres frutas se introducen en la bolsa y luego se saca una de las tres al azar.

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que la primera fruta introducida en la bolsa era efectivamente la misma que se sacó. Se nos dice que la fruta sacada era una manzana. Sólo queda por saber cuál era la segunda y la tercera fruta. Cada una de ellas era independientemente una manzana con probabilidad $\frac{1}{3}$ para una probabilidad final de $$\frac{1}{9}$$

Si esto no le convence, siga adelante y refiérase explícitamente a todos los $3^4=81$ posibles eventos, llevando la cuenta no sólo del resultado de la primera fruta sino también de cuál de las frutas fue la seleccionada al azar y aproximarse directamente con la definición de probabilidad condicional.

Verá que de estos $81$ igualmente probables diferentes eventos posibles, $3\times 1\times 3\times 3$ corresponden a que la fruta que se dibuja es una manzana ( elegir qué fruta numerada fue la que se sorteó (3 opciones) establecerla como una manzana (1 opción) y elegir el tipo de fruta para cada una de las restantes (9 opciones) ). De estos, $3\times 1\times 1\times 1$ corresponden a que todas las frutas son manzanas. Esto da una probabilidad de:

$$\frac{3\times 1\times 1\times 1}{3\times 1\times 3\times 3} = \frac{1}{9}$$

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La redacción de la pregunta es importante. Lo que estamos condicionando no es el hecho de que haya al menos una manzana en la bolsa... lo que estamos condicionando es que al sacar al azar una sola fruta de la bolsa sea una manzana. El texto exacto del OP es " Uno saca al azar una fruta de la bolsa, es una manzana. " Esto es diferente a " A Timmy sólo le gusta comer manzanas, así que busca en la bolsa una manzana y la saca intencionadamente. " En nuestro problema real, existía la posibilidad de no haber conseguido una manzana incluso en el caso de que hubiera manzanas disponibles. Si Timmy busca en la bolsa, no hay ninguna posibilidad de no conseguir una manzana, excepto en el caso de que no haya manzanas en la bolsa.

Compárelo con el Problema de chicos y chicas y muy específicamente a la Primera pregunta en el problema chico-chica donde se nos dice que el el mayor el niño es una niña.

Compárelo con el problema del niño y la niña, en el que una chica responde a la puerta cuando se toca el timbre pero no sabemos si era el hijo mayor o el menor. Aquí, aunque no tenemos forma de saber la edad relativa del niño... todavía podemos distinguirla de su hermano por el hecho de que fue ella y no su hermano quien abrió la puerta . Este es el mismo escenario en el que nos encontramos con este problema. La fruta que que casualmente ha sacado era una manzana. No buscamos una manzana intencionadamente.

Esta es una pregunta diferente a la Segunda pregunta donde se nos dice que al menos uno de los niños es niña pero no cuál y no se nos da ninguna información ni forma de distinguir cuál.

Answer 2

Pido disculpas tanto a @JMoravitz como a @Cerice por causar confusión. Originalmente tenía una respuesta de $\frac{1}{19}$ porque consideré que había $27$ posibles bolsas de fruta y sólo $8$ de ellos no tienen una manzana que deja $19$ posibles bolsas de fruta de las cuales sólo una contiene tres manzanas.

Este razonamiento es incorrecto porque aunque sólo hay una posible bolsa de fruta con tres manzanas hay tres posibles formas de observarla. La manzana sacada de la bolsa podría haber sido la primera, la segunda o la tercera manzana de la bolsa con tres manzanas.

Si la manzana extraída fue la primera fruta colocada, entonces hay $3\times 3=9$ opciones para los otros dos.

Asimismo, si la manzana dibujada era la segunda fruta colocada hay $9$ opciones para las otras dos y si la manzana extraída era la tercera fruta colocada hay $9$ opciones para que haya $27$ formas posibles de observar una sola manzana seleccionada al azar y $3$ de estos contienen todas las manzanas. Por lo tanto, la probabilidad de observar dos manzanas más es $\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$ .

Sólo he publicado esto para aclarar cualquier confusión que haya podido causar. Por favor, acepte la respuesta de JMoravitz ya que él no sufría de tal mal.