Propiedades de Cameron Martin Space

Question

En el caso de que esté trabajando con un espacio de Hilbert separable, $H$ en el que tengo un operador de clase de rastreo, $K$ que viene de un gaussiano (es decir, $K$ es autoadjunto, y por simplicidad, tiene núcleo trivial), cómo puedo ver las siguientes dos propiedades:

1. El espacio de Cameron-Martin, definido como $K^{1/2}(H)$ en este caso, es denso en $H$
2. El espacio de Cameron-Martin está incrustado de forma compacta en $H$ .

Answer 1

1) Ver que $K^{1/2}(H)$ es denso en $H$ si no es así, hay alguna $v$ ortogonal a ella. Pero como $K^{1/2}$ es autoadjunto, es decir $0 = (K^{1/2})^* v = K^{1/2} v$ y luego $K v = K^{1/2} K^{1/2} v = 0$ violando su suposición de que el núcleo es trivial.

2) Dado que la incrustación $K^{1/2}$ es compacta, está incrustada de forma compacta.