Función de saturación suave

Question

Necesito una función similar a $$Saturation(x)=min(max(x, -1), 1)$$ salvo que necesito que sea suave y sin saltos en sus derivados. Parece que $arctan$ no es un buen candidato ya que lo necesito para mantener el $|Saturation(x)-x|<0.02$ hasta $|x|<0.9$ mientras que $arctan$ me da un gran error.

La función debe ser idéntica en torno a $x=0$ y casi plano después $x=1$ .

Así, los requisitos de la función son:

$$f'(0)=1$$ $$f(0)=0$$ $$f'(1)\thickapprox0$$ $$f(0.90)=0.88$$ $$|f(x)|<1$$ $$|f'(x)| \leqslant 1$$ $$\forall n \in \mathbb{N} , \exists \frac{d^n}{dx} f(x)$$

¿Puede alguien sugerirme una función de este tipo?

Answer 1

Normalizar $x$ por el $L^p$ -norma de $(1, x)$ funcionaría. $$L^p(\vec{x}) = \sqrt[\Large p]{\sum_i|x_i|^p}$$ Su saturación suave sería entonces esta: $$Sat(x) = \frac{x}{\sqrt[\Large p]{1+|x|^p}}$$

Como $p$ se acerca al infinito, se aproximará más al original $Saturation$ porque $L^\infty$ es equivalente al máximo. Además, como $p$ se acerca a $0$ , $Sat(x)$ La derivada de segundo orden es mayor en torno a $0$ Así que $Sat(x)$ más rápidamente no se aproximará $y=x$ .

Desde $p$ et $x$ son reales y p es positivo, $Sat^\prime(x)$ está bien definida como (a partir de WolframAlpha) ):

$$Sat^\prime(x) = \frac{1}{\left(1 + |x|^p\right)^{\large \frac{p}{p+1}}}$$

Para cumplir con sus condiciones exactas, si utiliza $p\approx11.56$ entonces $Sat^\prime(1)\approx0.4709$ (tan bueno como el tanh sugerido por usuario76844 ) y $Sat(0.9)\approx0.8800$ . Todas las derivadas de orden superior deberían existir, pero en general sería más fácil calcularlas numéricamente.

Answer 2

Le site Función logística debería servir. He configurado la versión siguiente para capturar algunos de sus requisitos.

$$\text{Sat}(x)=\frac{2}{1+e^{-2x}}-1$$

Nota: $\text{Sat}'(0)=1,|\text{Sat}'(x)|\leq 1, |\text{Sat}(x)|\leq 1,\text{Sat}(0.9)\approx 0.72, \text{Sat}(0)=0$ y todos los derivados existen.

6 de 7 no está tan mal... y no está tan mal en $x=0.9$ (dentro del 20%).

Respuesta a OP

Si vas al revés, querrás encontrar una función:

$$f: f'(0)=1, \lim_{|x|\to \infty} f'(x)=0, \int |f'(x)| dx< \infty, $$

Un candidato sería de la forma $f'(x)=e^{-kx^p}, p\in\{2,4,6...\}$ Por desgracia, su integral no es elemental.

Answer 3

Mi función saturadora favorita es tanh(x). Limita muy bien en más/menos 1. Si necesitas más ganancia en la región lineal, modifícala como en tanh(ganancia*x).