Es la secuencia de funciones continuas tal que $\left\Vert f_{n}(x) -f_{m}(x) \right\Vert _{\infty}=1$ ¿equicontinuo?

Question

Consideremos una secuencia acotada de funciones continuas $f_n:\left[0,1\right]\to\mathbb{R}$ tal que $$\left\Vert f_{n}-f_{m}\right\Vert _{\infty}=\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|=1$$ siempre que $n\neq m$ . ¿Puede tal secuencia ser equicontinua?

Quiero decir que no y mi razonamiento es que si tiene tal secuencia, entonces debe actuar como $\left\{x^n\right\}$ que se puede demostrar que no es equicontinua. Sin embargo, no estoy seguro.

Answer 1

Obsérvese, como señala Jose27 en los comentarios, que no es necesario el supuesto de acotación, ya que está implícito en la condición de norma.

De la condición de norma, $$\tag{1} \Vert f_n-f_m\Vert_\infty=1,\quad \text{whenever }\ n\ne m, $$ se deduce que la secuencia $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ está uniformemente acotado sobre $[0,1]$ . La ecuación (1) también implica que $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ no puede ser equicontinuo sobre $[0,1]$ :

Supongamos que $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ eran equicontinuos sobre $[0,1]$ . Entonces por el Teorema de Arzelà-Ascoli hay una subsecuencia $\{f_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ de $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ que converge uniformemente en $[0,1]$ . En particular, $\{f_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ es uniformemente Cauchy. Es decir, para cada $\epsilon>0$ hay un número entero positivo $N$ para que $$ |f_{n_k}(x ) -f_{n_{l}}(x )|<\epsilon, \quad \text{for all }\ k,l\ge N\ \text{ and all }\ x\in[0,1]. $$

Pero, al establecer $\epsilon={1\over2}$ y fijando un número entero positivo $N$ tenemos por la ecuación (1) la existencia de unos $x_{\scriptscriptstyle N}\in[0,1]$ con $|f_{n_N}(x_{\scriptscriptstyle N}) -f_{n_{N+1}}(x_{\scriptscriptstyle N})|>{1\over2}$ . Como $N$ era arbitraria, esto contradice el hecho de que $\{f_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ es uniformemente Cauchy.

De ello se desprende que $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ no es equicontinuo sobre $[0,1]$ .