Cómo probar esta desigualdad $1342<2\sum_{k=1}^{100}\sqrt{k}<1343$

Question

mostrar que $$1342<2\sum_{k=1}^{100}\sqrt{k}<1343$$

Mi idea: ya que $$x\in(k-1,k)\Longrightarrow \sqrt{k-1}\le\sqrt{x}\le \sqrt{k}$$ así $$\int_{k-1}^{k}\sqrt{k-1}dx\le\int_{k-1}^{k}\sqrt{x}dx\le\int_{k-1}^{k}\sqrt{k}dx$$ o $$\sqrt{k-1}\le\int_{k-1}^{k}\sqrt{x}\le\sqrt{k}$$ Pero me he encontrado con esta desigualdad no puede resolver mi problema,así que tal vez puede utilizar otros métodos para resolverlo,

Gracias

Answer 1

Desde $\sqrt{x}$ es una función cóncava, su integral sobre la $[2,100]$ es más grande que su estimación sobre el mismo intervalo de tiempo utilizando la regla Trapezoidal. Como resultado,

$$2 \sum_{k=1}^{100} \sqrt{k} \le 2\left[ 1 + \frac12(\sqrt{2} + \sqrt{100}) + \int_2^{100} \sqrt{x} dx \right] = 12 + \sqrt{2} + \frac43\a la izquierda(100^{3/2} - 2^{3/2}\right)\\ = \frac{4036-5\sqrt{2}}{3} \approx 1342.97631 < 1343. $$ Para cualquier $k \ge 1$, $\sqrt{x}$ es cóncava $[k-\frac12,k+\frac12]$ implica

$$\sqrt{k} \ge \int_{k-1/2}^{k+1/2} \sqrt{x}dx = \frac23 \left( (k+\frac12)^{3/2} - (k-\frac12)^{3/2} \right)$$ Esto conduce a una obligada en la otra dirección: $$2\sum_{k=1}^{100}\sqrt{k} \ge \frac43 \sum_{k=1}^{100}\left( (k+\frac12)^{3/2} - (k-\frac12)^{3/2} \right)= \frac43 \left[ \left( \frac{201}{2} \right)^{3/2} - \left( \frac12 \right)^{3/2} \right]\\ \aprox 1342.87442 > 1342$$

Answer 2

Creativo telescópica técnicas a menudo proporciona el mejor de los límites con respecto a la pura analítica contraparte - como un ejemplo, echar un vistazo a este problema similar. En mi respuesta he demostrado que $$\frac{2}{3}N\sqrt{N}\leq\sum_{k=1}^{N}\sqrt{k}\leq\frac{4N+3}{6}\sqrt{N},$$ que dar una brecha de $10$ entre el lado izquierdo y el lado derecho de su problema. Sin embargo, se puede llevar en el telescópica técnica de un paso más allá, con la esperanza de obtener una diferencia menor. Tener en cuenta que: $$(n+1)^{3/2}-n^{3/2}=\frac{3n^2+3n+1}{(n+1)^{3/2}+n^{3/2}}=\frac{3}{4}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)+R(n),\tag{1}$$ donde $$ 0\leq R(n)\leq\frac{1}{32\cdot n^{3/2}}.\tag{2}$$ Si definimos $S$ $S=\sum_{k=1}^{100}\sqrt{k}$, $(1)$ y $(2)$ dar: $$S-\frac{1}{2}-5=\sum_{k=1}^{99}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2}\leq\frac{2}{3}\sum_{k=1}^{99}\left((n+1)^{3/2}-n^{3/2}\right)=\frac{2}{3}\cdot999=666,\tag{3}$$ por lo tanto $S\leq 1343$, mientras que: $$666-(S-11/2)\leq\frac{2}{3}\sum_{k=1}^{100}\frac{1}{32\cdot k^{3/2}}\leq\frac{\zeta(3/2)}{48}<\frac{1}{18},\tag{3}$$ por lo tanto $S\geq 1343-\frac{1}{9}$.

Answer 3

La siguiente prueba se basa enteramente racional de la aritmética.

Indicar la cantidad en cuestión por $Q$, y poner $S:=\sum_{k=2}^{99}\sqrt{k}$. Ya que la función $x\mapsto\sqrt{x}$ es cóncava la regla trapezoidal undershoots la integral, y hemos $$666=\int_1^{100}\sqrt{x}\ dx>{1\over2}\bigl(\sqrt{1}+\sqrt{100}\bigr)+S\ ,$$ lo que conduce a $$Q=2 (S+11)<1343\ .$$ Ahora aproximado de la misma integral por segunda vez desde arriba con trapecios, mediante la elaboración de las tangentes en los puntos $(k,\sqrt{k})$ $\>(1\leq k\leq 100)$. El final trapezoides tener la anchura ${1\over2}$, los que quedan tienen la línea media en $x=k$ y la anchura $1$. De esta manera conseguimos $$666<{1\over2}{1+{5\over4}\over2}+ S +{1\over2}{10+(10-{1\over40})\over 2}\ .$$ Esto le da $$S>{105\,671\over160}\ ,$$ a partir de la cual obtenemos $$Q=2(S+11)>{107\,431\over80}\doteq 1342.89\ .$$ El valor real es de $\doteq 1342.9259$.