Una singularidad $n-$ cubo y una circunferencia definida la frontera que 2-cubo

Question

Este es un ejercicio de " Cálculo sobre Múltiples " de Michel Spivack (primera edición, p.100):

Si $c$ es un singular $1$ -cubo en $\mathbb{R}^2-\{0\}$ con $c(0)=c(1)$ , demuestre que existe un número entero $n$ tal que $c-c_{i,n}=\partial c^2$ para algunos $2-$ cadena $c^2$ .

Definiciones: Una singularidad $n-$ cubo en $A\subset \mathbb{R}^n$ es una función continua $\alpha:[0,1]^k\to A$ . Una singularidad $n-$ cadena es una suma $\sum^k_{j=1} r_j\alpha_j$ , donde $\alpha_j$ es un singular $n-$ cubo y $r_j\in \mathbb{R}$ .

Así que, en este caso, $c$ es una curva en $\mathbb{R}^2$ y $c_{1,n}$ es una circunferencia con radio $1$ y un total de $n$ vueltas alrededor del origen.

Puedo considerar una línea que cruza el origen, y si $\{U_{+}, U_{-}\}$ es una cubierta abierta de $\mathbb{R^2}-\{0\}$ entonces $\{c^{-1}(U_{+}), c^{-1}(U_{-})\}$ es una cubierta abierta de $[0,1]$ .

Tengo problemas para escribir correctamente la prueba.

¿Es una idea correcta? ¿Cómo puedo terminar la prueba? Gracias.

Answer 1

Aquí hay una prueba rápida si usted sabe que $\pi_1(S^1,x)\simeq \mathbb{Z}$ .

Desde $\mathbb{R}^2-\{0\}$ es equivalente en homotopía al círculo, después de elegir un punto base $x$ tenemos $\pi_1(\mathbb{R}^2-\{0\},x)\simeq \mathbb{Z}$ . Podemos tomar la curva $c_{i,1}$ como generador de este grupo. Por definición de la estructura de grupo en $\pi_1$ tenemos $$c_{i,n}=nc_{i,1}\;.$$ Ahora elige cualquier bucle $c$ . Entonces $c$ debe estar en alguna clase de homotopía de bucles, lo que implica que es homotópico a uno de los $c_{i,n}$ y la homotopía entre las dos da la cadena de 2 deseada.