Intuición detrás de un resultado elemental en álgebra lineal

Question

¿Cuál es la intuición detrás del siguiente resultado en Álgebra lineal

Dado que $V$ es de dimensión finita y $U$ es un subespacio de $V$ . Entonces existe un subespacio $W$ en $V$ tal que $V=U\oplus W$ .

Por favor, en sus respuestas no mencione la prueba. Conozco la prueba, sólo quiero saber qué motiva el resultado anterior. Se agradecerían ejemplos .

Answer 1

Si tiene un subespacio $U$ de un espacio vectorial de dimensión finita $V$ , digamos que $\dim V = n$ , $U$ tiene una dimensión finita $m\le n$ . Fijar una base de $U$ . Podemos ampliar esta base a una base de $V$ . $V$ y $U$ entonces, "difieren" en $n-m$ vectores base. $W$ es el subespacio generado por los vectores base que se pierden al pasar de $V$ a $U$ .

Espero que esto sea lo suficientemente no incómodo y útil.

Answer 2

He aquí una ilustración básica. Sea $V = \mathbb{R}^3$ y que $U$ sea cualquier línea de $V$ que pasa por el origen. Esto significa que puede encontrar otro subespacio (un plano) perpendicular a su línea, que caracterizará todo el espacio.

Del mismo modo, si se elige un plano, habrá una línea perpendicular a él para caracterizar el espacio.

Answer 3

Piensa en los espacios vectoriales como conjuntos de flechas que señalan hacia dónde puedes ir.

En mi dibujo, tienes un punto O del que partes. Ahora E es todo el espacio tridimensional, mientras que, 3 en este dibujo es sólo el plano. Si sólo puedes ir a lo largo de los vectores que están en 3, no podrás salir del plano, así que necesitas añadir otra dirección, que será una línea U.

Lo denotamos como $E=U+W$ . Sin embargo, esto no es lo único que necesitamos: necesitamos que esta suma sea directa. La suma directa significa esencialmente que la elección de los vectores en U y W es única para cada punto al que se quiere llegar.

Ahora bien, si quieres llegar, digamos, a un punto A, puedes ir primero por los vectores en U y luego simplemente ir por una dirección paralela a la línea U, que corresponden a los vectores en U. Si tomáramos U como un plano más, tendríamos una infinidad de opciones de cómo llegar al punto A. He ilustrado dos de ellas:

El sentido de este teorema es, por tanto, que si se elige un subespacio W, siempre se puede encontrar un espacio W, tal que se pueda llegar a todas partes de forma única, combinando vectores de W y U. U se llama entonces un suplemento de W. En caso de que W sea un hiperplano, U será, por ejemplo, una recta.

Espero que esto arroje algo de luz sobre este resultado tan importante.