Supongamos que tengo un conjunto de funciones medibles de valor escalar conocidas $f_{1},\ldots,f_{K}$ .
Asociado a estas funciones, también tengo un conjunto de números reales conocidos $a_{1},\ldots,a_{K}$ .
¿En qué condiciones en $f_{1},\ldots,f_{K}$ y $a_{1},\ldots,a_{K}$ ¿existe una variable aleatoria $X$ tal que $E[f_{k}(X)] = a_{k}$ para todos $k = 1,\ldots,K$ ?
¿Puede proporcionar una referencia a la literatura en la que se establezca tal resultado?
Si el caso general es demasiado difícil, supongamos que $f_{k}(x) = x^{k}$ para todos $k$ .
Como ejemplo, supongamos que $K = 2$ , $f_{1}(x) = x$ y $f_{2}(x) = x^{2}$ .
Entonces, si $a_{1} = 0$ y $a_{2} = 1$ Sé que este tipo de $X$ existe por ejemplo, tome $X \sim N(0,1)$ .
Por otro lado, si $a_{1} = 2$ y $a_{2} = 1$ , entonces no hay tal $X$ podría existir, porque si lo hiciera tendríamos $Var(X) = 1 - 2^{2} = -3 < 0$ .
