Si $Y \sim geometric(P)$ y $P \sim \mathcal B(2, 1)$ cómo calcular $E(Y)$ y el pmf marginal de $Y$ ?

Question

$$Y \sim Geometric(P)\\ P \sim \mathcal B(2, 1)$$

Estoy tratando de calcular $E[Y]$ sin encontrar la distribución marginal de $Y$ . Necesito algunos consejos aquí. También necesito encontrar el pmf de $Y$ . Mi enfoque es el siguiente:

Integrar de 0, 1 sobre $p: f(p)(1-f(p))^{(y-1)}$ donde $f(p)$ es el pdf de $\mathcal B(a, b)$ . Esto lleva a un álgebra desordenada. ¿Estoy en el camino correcto?

Answer 1

Sobre su comentario:

"¿Cómo se aplica la ley de la expectativa total en un contexto en el que no hay condicionales?".

No se ve la distribución condicional porque un enunciado más preciso del problema es $$Y\mid P=p\sim \textrm{Geo}(p) \qquad \textrm{and} \qquad P\sim \textrm{Be}(2,1) \, .$$

Ahora que ves la distribución condicional, haz la integral: $$\textrm{E}[Y]=\int_0^1 \textrm{E}[Y\mid P=p]\,f(p)\,dp \, .$$

Lo mismo ocurre con el pmf: $$p(y)=\int_0^1 \textrm{Pr}(Y=y\mid P=p)\,f(p)\,dp \, .$$

Esto es todo lo que necesitas.