Problema del valor intermedio de la propiedad

Question

Si $f:[a,b]\rightarrow R$ satisface el valor intermedio correctamente en $[a,b]$ y $f$ es inyectiva en $[a,b]$ entonces demuestre que f es estrictamente monótona en $[a,b]$
De alguna manera no puedo invocar la propiedad inyectiva. Si alguien puede ayudar, estaré encantado. Gracias de antemano

Answer 1

Supongamos que $f$ no es estrictamente monótona en $[a,b]$ . Entonces $f$ tampoco es monótona en $[a,b]$ ya que no hay dos valores de su función que sean iguales. Así, sin pérdida de generalidad, hay puntos $x_0\lt x_1\lt x_2$ con $f(x_0)\lt f(x_1)\gt f(x_2)$ . ¿Qué le dice esto sobre la frecuencia con la que $f$ toma los valores entre $f(x_1)$ y $\max(f(x_0),f(x_2))$ ?