Representación alternativa del valor propio de Perron Frobenius

Question

Al explicar la aplicación de la programación geométrica a la minimización del radio espectral, Boyd dice que $\lambda_{pf}$ también se puede caracterizar como: $\operatorname{inf}\{\lambda|\exists{v}>0, Av\leq\lambda{v}\}$

Según tengo entendido, el valor propio de Perron Frobenius es el valor propio con mayor valor absoluto. Estas dos definiciones me parecen contradictorias.

¿Alguien puede explicarlo?

Answer 1

Presumiblemente $A$ es (de entrada) positivo o es a la vez irreducible y no negativo. Por el teorema de Perron-Frobenius, el radio espectral $\rho(A)$ es un valor propio de $A$ y existe un positivo vector propio izquierdo $u$ correspondiente al valor propio $\rho(A)$ . Ahora bien, si $Av\le\lambda v$ para algún positivo $v$ entonces $\rho(A)u^Tv=u^TAv\le\lambda u^Tv$ es decir $\rho(A)\le\lambda$ . Por lo tanto, $\rho(A)\le\inf\{\lambda\mid\exists v>0,\,Av\le\lambda v\}$ . Sin embargo, como $Av=\rho(A)v$ para el vector de Perron (derecho) de $A$ la desigualdad es aguda.