relación entre círculo inscrito y circunscrito

Question

Sea T el triángulo con longitudes de lado $b_1,b_2,b_3$ y $r_{insc}$ y $r_{cir}$ son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, respectivamente, Necesito demostrar que $$\frac {r_{insc}}{r_{cir}}=\frac {(b_2+b_3-b_1)(b_3+b_1-b_2)(b_2+b_1-b_3)}{2b_1b_2b_3}$$ Tal vez sea fácil, pero he olvidado las relaciones en los triángulos,

Por favor, ayúdenme. Gracias

Answer 1

Que el lado del triángulo sea $a,b,c$ y $R$ y $r$ son los radios de los círculos circunscritos e inscritos, respectivamente.

La ecuación ahora se ve como

$$\frac{r}{R} = \frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{2abc}$$

Multiplicamos ambos lados por $\frac{a+b+c}{8}$

$$\frac{r(a+b+c)}{8R} = \frac{a+b-c}{2} \times \frac{a+c-b}{2} \times \frac{b+c-a}{2} \times \frac{a+b+c}{2}\times \frac{1}{abc}$$

$$\frac{r(a+b+c)}{8R} = \frac{(s-c)(s-b)(s-a)s}{abc}$$

Donde $s$ es el semiperímetro. Por la fórmula de Heron sabemos que

$$K = \sqrt{(s-c)(s-b)(s-a)s}$$

Donde K es el área del triángulo.

$$\frac{r(a+b+c)}{8R} = \frac{K^2}{abc}$$

Sustituimos $\frac{a+b+c}{2} = s$

$$\frac{rs}{4R} = \frac{K^2}{abc}$$

Sabemos que $K = \frac{abc}{4R} = rs$

$$\frac{rs \times abc}{4R} = K^2$$

$$K^2 = K^2$$

Q.E.D.

---

Otra solución es hacer esta sustitución:

$$R = \frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$

$$r = \frac{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s}}$$

$$\frac{r}{R} = \frac{\frac{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s}}}{\frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}} = \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)}{abc} = \frac{4 \times \frac{c+b-a}{2} \times \frac{a+c-b}{2} \times \frac{a+b-c}{2}}{abc}$$

$$\frac{r}{R} = \frac{(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)}{2abc}$$

Q.E.D.

Answer 2

Utilizo la notación convencional para la prueba. Denotemos $\theta_i$ el ángulo orientado hacia el lado $b_i$ para $i=1,2,3$ . Se sabe que $2R\sin\theta_i=b_i$ . Usando esto se obtiene: $$b_1+b_2-b_3=8R\sin\frac{\theta_1}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}\cos\frac{\theta_3}{2}.$$ Se obtiene una identidad similar para una variación diferente.

Ahora tenemos $b_1=r(\cot\frac{\theta_2}{2}+\cot\frac{\theta_3}{2})$ que es: $$r\cos\frac{\theta_1}{2}=b_1\sin\frac{\theta_3}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}. (1)$$ o $$r\sin{\theta_1}=2b_1\sin\frac{\theta_3}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}.$$ Claramente:

$$\frac{r}{4R}=\sin\frac{\theta_3}{2}\sin\frac{\theta_2}{2}\sin\frac{\theta_1}{2}.$$ Además, multiplicando dos lados de (1) por otros dos pises, se obtiene: $$\frac{b_1b_2b_3}{16rR^2}=\cos\frac{\theta_3}{2}\cos\frac{\theta_2}{2}\cos\frac{\theta_1}{2}.$$ Ahora, mediante una simple manipulación algebraica, se obtiene el resultado correcto.